57. а) Площадь параллелограмма равна 18 /3 см2, одна из его сторон на 5 см больше другой, а один из углов равен 60°. Найдите периметр параллелограмма. б) Стороны параллелограмма…
57. а) Площадь параллелограмма равна 18 /3 см2, одна из его сторон на 5 см больше другой, а один из углов равен 60°. Найдите периметр параллелограмма. б) Стороны параллелограмма относятся как 3 : 5, площадь равна 30 см2, а тупой угол параллелограмма равен 150°. Найдите периметр параллелограмма.
Давайте разберем оба пункта задачи по очереди.
а) Дано: площадь параллелограмма \( S = \frac{18}{3} = 6 \, \text{см}^2 \), одна из сторон \( a \) на 5 см больше другой стороны \( b \), и один из углов \( \alpha = 60^\circ \). Мы можем записать:
- \( a = b + 5 \)
- Площадь параллелограмма можно выразить как \( S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) \). В нашем случае, \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Подставим значения в формулу площади:
\[ S = a \cdot b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \]
Теперь подставим \( a \):
\[ (b + 5) \cdot b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \]
Умножим обе стороны на 2:
\[ (b + 5) \cdot b \cdot \sqrt{3} = 12 \]
Теперь избавимся от √3, делая это более удобно:
\[ (b^2 + 5b) \cdot \sqrt{3} = 12 \]
Теперь найдём \( b^2 + 5b \):
\[ b^2 + 5b = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \]
Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить. Однако, чтобы найти периметр, нам нужно найти длины сторон. Периметр \( P \) параллелограмма равен \( P = 2(a + b) = 2((b + 5) + b) = 4b + 10 \).
Теперь давайте решим уравнение:
\( b^2 + 5b - 4\sqrt{3} = 0 \)
Для этого воспользуемся формулой решения квадратного уравнения:
\[ b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} \]
где \( A = 1, B = 5, C = -4\sqrt{3} \).
Теперь подставим значения и решим.
б) Дано: отношение сторон как \( 3:5 \), площадь \( S = 30 \, \text{см}^2 \), и тупой угол \( \beta = 150^\circ \).
Обозначим стороны как \( 3x \) и \( 5x \). Тогда:
\[ S = 3x \cdot 5x \cdot \sin(150^\circ) \]
Поскольку \( \sin(150^\circ) = \frac{1}{2} \):
\[ 30 = 15x^2 \cdot \frac{1}{2} \] \[ 30 = 7.5x^2 \] \[ x^2 = \frac{30}{7.5} = 4 \] \[ x = 2 \]
Теперь подставим \( x \) для нахождения сторон:
\( a = 3x = 6 \, \text{см} \) и \( b = 5x = 10 \, \text{см} \).
Периметр параллелограмма:
\[ P = 2(a + b) = 2(6 + 10) = 2 \cdot 16 = 32 \, \text{см}. \]
Теперь у вас есть все необходимое для обоих пунктов! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.
