166. Дан треугольник со сторонами, равными 7 см, 6 см, 5 см. Постройте треугольник, гомотетичный данному, с центром гомо- тетии в точке пересечения его медиан и коэффициентом гомоте- тии, равным: а) 3/2 б) -0,5. Сравните соответствующие углы дан- ного и построенных треугольников.

Для решения задачи построим треугольник с заданными сторонами 7 см, 6 см и 5 см, а затем создадим гомотетичный треугольник с указанными коэффициентами гомотетии.

1. Построение исходного треугольника:

   • Используйте линейку и циркуль, чтобы построить треугольник со сторонами 7 см, 6 см и 5 см.
   • Для этого начните с отрезка длиной 7 см. Обозначим его как сторону \( AB \).
   • Затем на одном конце отрезка (например, в точке \( A \)) с помощью циркуля проведите дугу радиусом 6 см, в точке \( B \) - радиусом 5 см. Точки пересечения дуг определяют расположение третьей вершины треугольника \( C \).

2. Находим точку пересечения медиан:

   • Медианы треугольника – это отрезки, соединяющие вершины с серединой противоположной стороны. Найдите середины каждой стороны:
     • Середина отрезка \( AB \) – точка \( M_1 \),
     • Середина отрезка \( BC \) – точка \( M_2 \),
     • Середина отрезка \( AC \) – точка \( M_3 \).
   • Постройте медиану \( AM_2 \), \( BM_3 \) и \( CM_1 \), которые пересекутся в точке \( G \) – центре масс (или точке пересечения медиан).

3. Гомотетия:

   • Для коэффициента гомотетии \( k = \frac{3}{2} \):

     • Чтобы построить гомотетичный треугольник, увеличьте расстояния от точки \( G \) до вершин исходного треугольника \( A, B, C \) на коэффициент \( \frac{3}{2} \).
     • Например, новая точка \( A' \) будет находиться на расстоянии \( \frac{3}{2} \times GA \) от точки \( G \) в том же направлении.
     • Аналогично найдите \( B' \) и \( C' \).

   • Для коэффициента гомотетии \( k = -0.5 \):

     • В данном случае необходимо уменьшить расстояние от точки \( G \) на \( 50\% \) и поменять направление.
     • То есть, новая точка \( A'' \) будет находиться на расстоянии \( 0.5 \times GA \) от \( G \), но в opposite направлении.
     • Аналогично найдите \( B'' \) и \( C'' \).

4. Сравнение углов:

   • Углы исходного треугольника будут равны углам гомотетичных треугольников:
     • Углы треугольника с коэффициентом \( k = \frac{3}{2} \) будут равны углам исходного треугольника, так как гомотетия изменяет размеры, но не углы.
     • Аналогично, углы треугольника с коэффициентом \( k = -0.5 \) тоже будут равны углам исходного треугольника по той же причине.

Таким образом, мы построили гомотетичные треугольники и подтвердили, что их углы равны углам исходного треугольника. Удачи в дальнейших исследованиях!