Пряничная ведьма раздает детям конфетки.Сейчас всем досталось поровно ,если бы детей было на два меньше ,каждому досталось бы на одну конфету больше ,а если на три ,то на две .Сколько всего конфет?

Давайте обозначим количество детей как \( x \) и общее количество конфет как \( y \).

По условию задачи, мы знаем следующее:

1. Если детей на два меньше (\( x - 2 \)), то каждому достанется на одну конфету больше: \[ \frac{y}{x} = \frac{y}{x - 2} - 1 \]

2. Если детей на три меньше (\( x - 3 \)), то каждому достанется на две конфеты больше: \[ \frac{y}{x} = \frac{y}{x - 3} - 2 \]

Теперь у нас есть две уравнения. Давайте упростим каждое из уравнений:

Для первого уравнения: \[ \frac{y}{x} = \frac{y}{x - 2} - 1 \] Умножим обе стороны на \( x(x - 2) \): \[ y(x - 2) = yx - x(x - 2) \] \[ yx - 2y = yx - x^2 + 2x \] Упрощая, получаем: \[ 2y = x^2 - 2x \quad (1) \]

Теперь для второго уравнения: \[ \frac{y}{x} = \frac{y}{x - 3} - 2 \] Умножим обе стороны на \( x(x - 3) \): \[ y(x - 3) = yx - 2x(x - 3) \] \[ yx - 3y = yx - 2x^2 + 6x \] Упрощая, получаем: \[ 3y = 2x^2 - 6x \quad (2) \]

Теперь у нас есть система уравнений (1) и (2):

1. \( 2y = x^2 - 2x \)
2. \( 3y = 2x^2 - 6x \)

Подставим из первого уравнения \( y \): \[ y = \frac{x^2 - 2x}{2} \] Подставим это значение во второе уравнение: \[ 3 \left(\frac{x^2 - 2x}{2}\right) = 2x^2 - 6x \] Умножив обе стороны на 2, получим: \[ 3(x^2 - 2x) = 4x^2 - 12x \] Упрощая, получаем: \[ 3x^2 - 6x = 4x^2 - 12x \] Переносим все в одну сторону: \[ 0 = x^2 - 6x \] Факторизуем: \[ 0 = x(x - 6) \] Таким образом, \( x = 0 \) или \( x = 6 \). Поскольку количество детей не может быть равно нулю, принимаем \( x = 6 \).

Теперь подставим \( x \) в одно из уравнений для нахождения \( y \): \[ y = \frac{6^2 - 2 \cdot 6}{2} = \frac{36 - 12}{2} = \frac{24}{2} = 12 \]

Итак, общее количество конфет составляет \( y = 12 \).