Разложи с помощью бинома ньютона (3х+2)⁴

Чтобы разложить (3x + 2)⁴ с помощью бинома Ньютона, воспользуемся формулой бинома:

\((a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\)

Где:

• \(a = 3x\)
• \(b = 2\)
• \(n = 4\)

Сначала найдём биномиальные коэффициенты \(\binom{4}{k}\) для \(k\) от 0 до 4:

• \(\binom{4}{0} = 1\)
• \(\binom{4}{1} = 4\)
• \(\binom{4}{2} = 6\)
• \(\binom{4}{3} = 4\)
• \(\binom{4}{4} = 1\)

Теперь мы можем подставить \(a\), \(b\), \(n\) и \(k\) в формулу:

\[ (3x + 2)^4 = \binom{4}{0} (3x)^4 (2)^0 + \binom{4}{1} (3x)^3 (2)^1 + \binom{4}{2} (3x)^2 (2)^2 + \binom{4}{3} (3x)^1 (2)^3 + \binom{4}{4} (3x)^0 (2)^4 \]

Подставляя значения коэффициентов и вычисляя:

1. \(= 1 \cdot (3x)^4 \cdot 1 = 81x^4\)
2. \(+ 4 \cdot (3x)^3 \cdot 2 = 4 \cdot 27x^3 \cdot 2 = 216x^3\)
3. \(+ 6 \cdot (3x)^2 \cdot 4 = 6 \cdot 9x^2 \cdot 4 = 216x^2\)
4. \(+ 4 \cdot (3x) \cdot 8 = 4 \cdot 3x \cdot 8 = 96x\)
5. \(+ 1 \cdot 1 \cdot 16 = 16\)

Теперь объединим все эти части:

\[ (3x + 2)^4 = 81x^4 + 216x^3 + 216x^2 + 96x + 16 \]

Таким образом, результат разложения по биному Ньютона:

\[ (3x + 2)^4 = 81x^4 + 216x^3 + 216x^2 + 96x + 16 \]