На рисунке изображён прямоугольник A B C D ABCD . Точки K K , L L , M M , N N — середины его сторон. Найди вероятность, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет…

Чтобы решить эту задачу, начнём с анализа прямоугольника ABCD, где K, L, M и N — середины его сторон.

1. Определение координат: Предположим, что прямоугольник ABCD имеет следующие координаты:

   • A(0, 0)
   • B(a, 0)
   • C(a, b)
   • D(0, b)

   Тогда середины сторон будут:

   • K (середина AB) = \( \left( \frac{a}{2}, 0 \right) \)
   • L (середина BC) = \( \left( a, \frac{b}{2} \right) \)
   • M (середина CD) = \( \left( \frac{a}{2}, b \right) \)
   • N (середина DA) = \( \left( 0, \frac{b}{2} \right) \)

2. Определение четырехугольника AMCK:
   Четырёхугольник AMCK будет иметь следующие вершины:

   • A(0, 0)
   • M \( \left( \frac{a}{2}, b \right) \)
   • C(a, b)
   • K \( \left( \frac{a}{2}, 0 \right) \)

3. Площадь четырехугольника AMCK:
   Для нахождения площади многоугольника можно использовать формулу:

   \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right| \]

   Подставляем координаты вершин:

   • \( (x_1, y_1) = (0, 0) \)
   • \( (x_2, y_2) = \left( \frac{a}{2}, b \right) \)
   • \( (x_3, y_3) = (a, b) \)
   • \( (x_4, y_4) = \left( \frac{a}{2}, 0 \right) \)

   Теперь подставим в формулу:

   \[ S = \frac{1}{2} \left| 0 \cdot b + \frac{a}{2} \cdot b + a \cdot 0 + \frac{a}{2} \cdot 0 - (0 \cdot \frac{a}{2} + b \cdot a + b \cdot \frac{a}{2} + 0 \cdot 0) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 0 + \frac{ab}{2} - (0 + ab + \frac{ab}{2} + 0) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| \frac{ab}{2} - \frac{3ab}{2} \right| = \frac{1}{2} \cdot \left| -ab \right| = \frac{ab}{4} \]

4. Площадь прямоугольника ABCD:
   Площадь прямоугольника ABCD равна \( S_{ABCD} = a \cdot b \).

5. Вероятность попадания в четырехугольник AMCK:
   Вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике попадёт в четырехугольник AMCK, вычисляется как отношение площадей:

   \[ P = \frac{S_{AMCK}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{ab}{4}}{ab} = \frac{1}{4} \]

Итак, вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать четырехугольнику AMCK, составляет \( \frac{1}{4} \) или 25%.