Укажите наименьшую из координат точек пересечения линий 4x^2-y^2=8 и x^2+3y^2=15

Чтобы найти точки пересечения линий, заданных уравнениями \(4x^2 - y^2 = 8\) и \(x^2 + 3y^2 = 15\), начнем с первого уравнения. Мы можем выразить \(y^2\) через \(x\):

1. Из уравнения \(4x^2 - y^2 = 8\) получаем: \[ y^2 = 4x^2 - 8 \]

Теперь подставим \(y^2\) из первого уравнения во второе уравнение:

2. Подставим \(y^2\) в уравнение \(x^2 + 3y^2 = 15\): \[ x^2 + 3(4x^2 - 8) = 15 \] Упрощаем уравнение: \[ x^2 + 12x^2 - 24 = 15 \] \[ 13x^2 - 24 = 15 \] \[ 13x^2 = 39 \] \[ x^2 = 3 \]

Теперь найдем \(x\): \[ x = \sqrt{3} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{3} \]

3. Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для \(x\). Подставим \(x = \sqrt{3}\) в первое уравнение для нахождения \(y\): \[ y^2 = 4(\sqrt{3})^2 - 8 = 12 - 8 = 4 \] \[ y = 2 \quad \text{или} \quad y = -2 \]

Точки пересечения для \(x = \sqrt{3}\):

• \((\sqrt{3}, 2)\)
• \((\sqrt{3}, -2)\)

Теперь найдем значения для \(x = -\sqrt{3}\): \[ y^2 = 4(-\sqrt{3})^2 - 8 = 12 - 8 = 4 \] \[ y = 2 \quad \text{или} \quad y = -2 \]

Точки пересечения для \(x = -\sqrt{3}\):

• \((- \sqrt{3}, 2)\)
• \((- \sqrt{3}, -2)\)

Теперь у нас есть четыре точки пересечения:

1. \((\sqrt{3}, 2)\)
2. \((\sqrt{3}, -2)\)
3. \((- \sqrt{3}, 2)\)
4. \((- \sqrt{3}, -2)\)

Последним шагом найдем наименьшую координату из этих точек. Рассмотрим \(y\)-координаты \(2\) и \(-2\):

• Наименьшая \(y\)-координата среди всех точек — это \(-2\).

Таким образом, наименьшая из координат точек пересечения линий равна \(-2\).