В равностороннем треугольнике MNK MNK со стороной 6√3 провели медиану NQ. Чему равно скалярное произведение векторов NQ→NQ и NK→NK?
В равностороннем треугольнике MNK со стороной 6√3 медиана NQ соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Мы начнем с нахождения длины медианы NQ.
Длина медианы в равностороннем треугольнике можно найти по формуле:
\[ m = \frac{\sqrt{3}}{2} a \]
где \( a \) - длина стороны треугольника. Подставляем:
\[ m = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6\sqrt{3} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9 \]
Итак, длина медианы NQ равна 9.
Теперь, чтобы найти скалярное произведение векторов \( \vec{NQ} \) и \( \vec{NK} \), нам нужно рассмотреть векторы \( \vec{NQ} \) и \( \vec{NK} \) в координатной плоскости. В равностороннем треугольнике MNK можно задать координаты вершин следующим образом:
- Пусть точка N (верхняя вершина) будет в начале координат (0, 0).
- Точка M будет на координате (−3√3, -9).
- Точка K будет на координате (3√3, -9).
Точка Q, как середина стороны MK, будет находиться в координате:
\[ Q = \left(\frac{x_M + x_K}{2}, \frac{y_M + y_K}{2}\right) = \left(0, -9\right) \]
Теперь векторы:
- \( \vec{NQ} = Q - N = (0 - 0, -9 - 0) = (0, -9) \)
- \( \vec{NK} = K - N = (3\sqrt{3} - 0, -9 - 0) = (3\sqrt{3}, -9) \)
Скалярное произведение векторов \( \vec{NQ} \) и \( \vec{NK} \) можно вычислить по формуле:
\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y \]
Теперь подставим значения:
\[ \vec{NQ} \cdot \vec{NK} = (0) \cdot (3\sqrt{3}) + (-9) \cdot (-9) = 0 + 81 = 81 \]
Таким образом, скалярное произведение векторов \( \vec{NQ} \) и \( \vec{NK} \) равно 81.
