На заводе изготовляют комплектующие детали. Первая машина производит 25% всех изделий, вторая 35%, третья 40%. Брак составляет соответственно 5%, 4% и 10%. Какова вероятность того, что случайно выбранная деталь имеет дефект?

Для решения этой задачи нам нужно использовать концепцию полной вероятности и учитывать вероятность производства деталей каждой машины и процент брака.

Обозначим:

• \( P(A_1) \) — вероятность, что деталь изготовлена первой машиной = 0,25 (25%)
• \( P(A_2) \) — вероятность, что деталь изготовлена второй машиной = 0,35 (35%)
• \( P(A_3) \) — вероятность, что деталь изготовлена третьей машиной = 0,40 (40%)

Теперь определим вероятность того, что деталь бракованная для каждой машины:

• \( P(D|A_1) \) — вероятность дефекта при изготовлении первой машиной = 0,05 (5%)
• \( P(D|A_2) \) — вероятность дефекта при изготовлении второй машиной = 0,04 (4%)
• \( P(D|A_3) \) — вероятность дефекта при изготовлении третьей машиной = 0,10 (10%)

Теперь мы можем рассчитать общую вероятность того, что случайно выбранная деталь имеет дефект \( P(D) \) по формуле полной вероятности:

\[ P(D) = P(D|A_1) \cdot P(A_1) + P(D|A_2) \cdot P(A_2) + P(D|A_3) \cdot P(A_3) \]

Подставим известные значения:

\[ P(D) = (0,05 \cdot 0,25) + (0,04 \cdot 0,35) + (0,10 \cdot 0,40) \]

Вычислим каждое слагаемое:

• \( 0,05 \cdot 0,25 = 0,0125 \)
• \( 0,04 \cdot 0,35 = 0,014 \)
• \( 0,10 \cdot 0,40 = 0,04 \)

Теперь сложим эти значения:

\[ P(D) = 0,0125 + 0,014 + 0,04 = 0,0665 \]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная деталь имеет дефект, составляет 0,0665 или 6,65%.