В прямоугольном параллелепипеде ABCDA,B,C,D AB = 5, AD = 4, AA₁ = 3. Найдите диагональ AC.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA,B,C,D с заданными размерами AB = 5, AD = 4 и AA₁ = 3, мы можем найти длину диагонали AC с помощью теоремы Пифагора.
Сначала определим координаты точек A, B, C и D. Пусть точка A имеет координаты (0, 0, 0). Тогда остальные точки будут иметь следующие координаты:
- B(5, 0, 0) (так как AB = 5),
- D(0, 4, 0) (так как AD = 4),
- C(5, 4, 0) (поэтому CD также будет равно 4 и BC = 5).
Теперь найдем координаты A₁: это верхняя точка, которая поднимается на высоту AA₁ = 3, то есть имеет координаты A₁(0, 0, 3).
Теперь найдем координаты точки C в трехмерном пространстве. Она будет равна (5, 4, 3), потому что мы поднимаем C на ту же высоту, что и A₁.
Теперь мы можем использовать формулу для нахождения длины диагонали AC:
\[ AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2 + (z_C - z_A)^2} \]
Где:
- \(x_C = 5\), \(y_C = 4\), \(z_C = 3\)
- \(x_A = 0\), \(y_A = 0\), \(z_A = 0\)
Подставим значения в формулу:
\[ AC = \sqrt{(5 - 0)^2 + (4 - 0)^2 + (3 - 0)^2} \]
\[ AC = \sqrt{5^2 + 4^2 + 3^2} \]
\[ AC = \sqrt{25 + 16 + 9} \]
\[ AC = \sqrt{50} \]
Таким образом, диагональ AC равна:
\[ AC = 5\sqrt{2} \]
Ответ: длина диагонали AC равна \( 5\sqrt{2} \).
