Пуля, летевшая со скоростью 100 м/с, попадает в брусок, подвешенный на нити, и застревает в нём. Определите высоту (в метрах), на которую поднимется брусок от первоначального положения, если масса пули 50 г, а бруска 5 кг. Принять g = 10 м/с2.
Для решения данной задачи мы можем использовать закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.
- Сначала найдём импульс до столкновения. Импульс пули (p_пуля) можно вычислить по формуле: \[ p_пуля = m_пуля \cdot v_пуля \]
где \( m_пуля = 0.05 \, \text{кг} \) (переведём 50 г в килограммы), а \( v_пуля = 100 \, \text{м/с} \).
Подставим значения: \[ p_пуля = 0.05 \, \text{кг} \cdot 100 \, \text{м/с} = 5 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \]
- Импульс бруска до столкновения равен нулю, так как он неподвижен. После столкновения, пуля застревает в бруске, и система (пуля + брусок) будет двигаться как единое целое.
По закону сохранения импульса: \[ p_{системы} = p_пуля + p_брусок = p_{после} \]
Импульс после столкновения можно выразить как: \[ p_{после} = (m_пуля + m_бруска) \cdot v_{после} \]
Таким образом, имеем: \[ 5 \, \text{кг м/с} = (0.05 \, \text{кг} + 5 \, \text{кг}) \cdot v_{после} \]
Или: \[ 5 = 5.05 \cdot v_{после} \]
Теперь найдём \( v_{после} \): \[ v_{после} = \frac{5}{5.05} \approx 0.99 \, \text{м/с} \]
- Теперь используем закон сохранения энергии для нахождения высоты, на которую поднимется брусок. Энергия после столкновения будет преобразована в потенциальную энергию на высоте h: \[ \frac{1}{2} m_{системы} v_{после}^2 = m_{системы} g h \]
Мы можем сократить массу системы (так как она есть в обеих частях уравнения): \[ \frac{1}{2} v_{после}^2 = g h \]
- Подставляем значения: \[ h = \frac{\frac{1}{2} v_{после}^2}{g} = \frac{\frac{1}{2} (0.99)^2}{10} \]
Сначала вычислим \( \frac{1}{2} (0.99)^2 \): \[ \frac{1}{2} (0.99)^2 \approx 0.49005 \]
Теперь найдём высоту: \[ h = \frac{0.49005}{10} \approx 0.049 \, \text{м} \]
Таким образом, брусок поднимется примерно на \( 0.049 \, \text{м} \) или около 4.9 см от первоначального положения.
