1) Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 3√2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Давайте разберёмся с вашей задачей по геометрии, касающейся цилиндра и конуса.

Итак, у нас есть цилиндр и конус с одинаковым основанием и высотой. Обозначим радиус основания как \( r \) и высоту как \( h \). По условию, высота цилиндра равна радиусу основания, то есть \( h = r \).

1. Площадь боковой поверхности цилиндра:

Формула для вычисления площади боковой поверхности цилиндра:

\[ S_{\text{цил}} = 2\pi r h \]

Подставим \( h = r \):

\[ S_{\text{цил}} = 2\pi r^2 \]

Нам известно, что \( S_{\text{цил}} = 3\sqrt{2} \). Таким образом, у нас есть уравнение:

\[ 2\pi r^2 = 3\sqrt{2} \]

Теперь решим это уравнение для нахождения радиуса \( r \):

\[ r^2 = \frac{3\sqrt{2}}{2\pi} \] \[ r = \sqrt{\frac{3\sqrt{2}}{2\pi}} \]

2. Площадь боковой поверхности конуса:

Теперь давайте найдем площадь боковой поверхности конуса. Формула для неё выглядит так:

\[ S_{\text{кон}} = \pi r l \]

где \( l \) – это образующая конуса. Для того чтобы найти \( l \), воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике, где одна сторона – это высота \( h \) (которая равна \( r \)), а другая сторона – радиус \( r \). Образующая \( l \) будет равна:

\[ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{r^2 + r^2} = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2} \]

Теперь подставим \( l \) в формулу площади боковой поверхности конуса:

\[ S_{\text{кон}} = \pi r (r\sqrt{2}) = \pi r^2 \sqrt{2} \]

Подставим значение \( r^2 \):

\[ S_{\text{кон}} = \pi \left(\frac{3\sqrt{2}}{2\pi}\right) \sqrt{2} \]

Выполним упрощение:

\[ S_{\text{кон}} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3 \]

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна \( 3 \) квадратных единиц.