Никита массой 70 кг прыгает с вышки высотой 3 м на батут жёсткостью 2500 Н/м. Чему равна потенциальная энергия батута при максимальной деформации?
Чтобы определить потенциальную энергию батута при максимальной деформации, сначала нам нужно рассчитать, насколько батут будет деформироваться под действием силы тяжести Никиты, когда он прыгает с вышки.
Рассчитаем потенциальную энергию Никиты на высоте 3 м:
Потенциальная энергия (PE) может быть рассчитана по формуле: \[ PE = m \cdot g \cdot h \] где:
- \( m = 70 \, \text{кг} \) (масса Никиты),
- \( g = 9.81 \, \text{м/с}^2 \) (ускорение свободного падения),
- \( h = 3 \, \text{м} \) (высота вышки).
Подставим значения в формулу: \[ PE = 70 \, \text{кг} \cdot 9.81 \, \text{м/с}^2 \cdot 3 \, \text{м} \approx 2053.1 \, \text{Дж}. \]
Теперь рассчитаем, какое значение потенциальной энергии батута будет при его максимальной деформации:
Потенциальная энергия батута при максимальной деформации равна максимально возможной потенциальной энергии Никиты, когда он приземляется на батут. Эта энергия будет передаваться в форму потенциальной энергии батута. Формула для потенциальной энергии пружины (в данном случае батута) выглядит так: \[ PE_{\text{батут}} = \frac{1}{2} k x^2, \] где \( k = 2500 \, \text{Н/м} \) (жесткость батута), а \( x \) — максимальная деформация батута.
В этом случае потенциальная энергия батута при максимальной деформации будет равна потенциальной энергии Никиты перед прыжком: \[ \frac{1}{2} k x^2 = PE. \]
Сначала найдем максимальную деформацию \( x \), приравняв потенциальные энергии: \[ 2053.1 \, \text{Дж} = \frac{1}{2} \cdot 2500 \cdot x^2. \] Перепишем уравнение: \[ 2053.1 = 1250 \cdot x^2, \] откуда \[ x^2 = \frac{2053.1}{1250} \approx 1.64248, \] и тогда \[ x \approx \sqrt{1.64248} \approx 1.28 \, \text{м}. \]
Подставив найденное значение в формулу для потенциальной энергии батута, получаем: \[ PE_{\text{батут}} = \frac{1}{2} \cdot 2500 \cdot (1.28)^2 \approx \frac{1}{2} \cdot 2500 \cdot 1.6384 \approx 2048 \, \text{Дж}. \]
Таким образом, потенциальная энергия батута при максимальной деформации составляет примерно 2048 Дж. Это значение близко к первоначально вычисленной потенциальной энергии Никиты на высоте, так как предполагается, что вся энергия передается в батут.
