A(4:2:5) B(0:1:3) C(-1:-1:1) D(2:-2:2) 1. Найти линейную комбинацию векторов.AB-3BC+4CD 2. Найти длины ВЕКТОРОВ.AB BC CD 3. Найти cosine углы МЕЖДУ ABИBC BCИCD векторами. 4. Вычислить коллинеарны ли ВЕКТОРЫ AB CD 5. Выяснить ортогональные ВЕКТОРЫ.AB. CD 6(.AB+CD)AD НАЙТИ (BD+AC) (CA-DA)

Question 1

Задача Задача №2299576

А

Аноним

20 ноября 2024 18:05 · публичный вопрос

А

Аноним 20 ноября 2024 18:05

A(4:2:5) B(0:1:3) C(-1:-1:1) D(2:-2:2) 1. Найти линейную комбинацию векторов.AB-3BC+4CD 2. Найти длины ВЕКТОРОВ.AB BC CD 3. Найти cosine углы МЕЖДУ ABИBC BCИCD векторами. 4. Вычислить коллинеарны ли ВЕКТОРЫ AB CD 5. Выяснить ортогональные ВЕКТОРЫ.AB. CD 6(.AB+CD)AD НАЙТИ (BD+AC) (CA-DA)

Answer

Давайте разберём ваши вопросы по порядку.

1. Найти линейную комбинацию векторов AB - 3BC + 4CD.

Сначала найдём векторы AB, BC и CD:

\( AB = B - A = (0, 1, 3) - (4, 2, 5) = (-4, -1, -2) \)
\( BC = C - B = (-1, -1, 1) - (0, 1, 3) = (-1, -2, -2) \)
\( CD = D - C = (2, -2, 2) - (-1, -1, 1) = (3, -1, 1) \)

Теперь подставим в формулу:

\[ AB - 3BC + 4CD = (-4, -1, -2) - 3(-1, -2, -2) + 4(3, -1, 1) \]

Выполним вычисления:

\( -3BC = (3, 6, 6) \)
\( 4CD = (12, -4, 4) \)

Теперь складываем:

\[ (-4, -1, -2) + (3, 6, 6) + (12, -4, 4) \]

Соответственно, решаем по координатам:

Для первой координаты: \(-4 + 3 + 12 = 11\)
Для второй координаты: \(-1 + 6 - 4 = 1\)
Для третьей координаты: \(-2 + 6 + 4 = 8\)

Таким образом, линейная комбинация \( AB - 3BC + 4CD = (11, 1, 8) \).

2. Найти длины векторов AB, BC, CD.

Длину вектора можно найти по формуле:

\[ ||\mathbf{V}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

Рассчитаем длину каждого вектора:

\( ||AB|| = ||(-4, -1, -2)|| = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21} \)
\( ||BC|| = ||(-1, -2, -2)|| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \)
\( ||CD|| = ||(3, -1, 1)|| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11} \)

3. Найти косинусы углов между векторами AB и BC, BC и CD.

Для нахождения косинуса угла между векторами используется формула:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{||\mathbf{A}|| \cdot ||\mathbf{B}||} \]

Сначала найдем скалярное произведение векторов:

\( AB \cdot BC = (-4)(-1) + (-1)(-2) + (-2)(-2) = 4 + 2 + 4 = 10 \)
\( BC \cdot CD = (-1)(3) + (-2)(-1) + (-2)(1) = -3 + 2 - 2 = -3 \)

Теперь рассчитываем косинусы:

\[ \cos(AB, BC) = \frac{10}{\sqrt{21} \cdot 3} = \frac{10}{3\sqrt{21}} \]

\[ \cos(BC, CD) = \frac{-3}{3 \cdot \sqrt{11}} = \frac{-1}{\sqrt{11}} \]

4. Вычислить, коллинеарны ли векторы AB и CD.

Векторы коллинеарны, если один из них является скалярным произведением другого. Проверим этот факт:

\( k \cdot AB = CD \)

Для этого вычислим пропорции:

\( \frac{3}{-4} \), \( \frac{-1}{-1} \), \( \frac{1}{-2} \)

Эти пропорции не равны, поэтому векторы AB и CD не коллинеарны.

5. Выяснить, ортогональны ли векторы AB и CD.

Векторы ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю.

\[ AB \cdot CD = (-4)(3) + (-1)(-1) + (-2)(1) = -12 + 1 - 2 = -13 \]

Так как \( -13 \neq 0 \), векторы не ортогональны.

6. Найти (AB + CD) * AD и (BD + AC) * (CA - DA).

Сначала найдем вектор AD:

\[ AD = D - A = (2, -2, 2) - (4, 2, 5) = (-2, -4, -3) \]

Теперь найдем \( AB + CD \):

\[ AB + CD = (-4, -1, -2) + (3, -1, 1) = (-1, -2, -1) \]

Теперь запишем:

\[ (AB + CD) \cdot AD = (-1, -2, -1) \cdot (-2, -4, -3) = (-1)(-2) + (-2)(-4) + (-1)(-3) = 2 + 8 + 3 = 13 \]

Теперь найдем вектор AC:

\[ AC = C - A = (-1, -1, 1) - (4, 2, 5) = (-5, -3, -4) \]

Найдём вектор BD:

\[ BD = D - B = (2, -2, 2) - (0, 1, 3) = (2, -3, -1) \]

Теперь сложим \( BD + AC \):

\[ BD + AC = (2, -3, -1) + (-5, -3, -4) = (-3, -6, -5) \]

И найдём \( CA - DA \):

\[ CA = A - C = (4, 2, 5) - (-1, -1, 1) = (5, 3, 4) \]

\[ DA = A - D = (4, 2, 5) - (2, -2, 2) = (2, 4, 3) \]

Теперь выразим \( CA - DA \):

\[ CA - DA = (5, 3, 4) - (2, 4, 3) = (3, -1, 1) \]

Теперь нам нужно вычислить окончательный результат:

\[ (BD + AC) \cdot (CA - DA) = (-3, -6, -5) \cdot (3, -1, 1) = (-3)(3) + (-6)(-1) + (-5)(1) = -9 + 6 - 5 = -8 \]

Теперь у нас есть все требуемые результаты. Если есть еще вопросы или нужно углубить какой-то из пунктов, дайте знать!

Question 2

A(4:2:5) B(0:1:3) C(-1:-1:1) D(2:-2:2) 1. Найти линейную комбинацию векторов.AB-3BC+4CD 2. Найти длины ВЕКТОРОВ.AB BC CD 3. Найти cosine углы МЕЖДУ ABИBC BCИCD векторами. 4. Вычислить коллинеарны ли ВЕКТОРЫ AB CD 5. Выяснить ортогональные ВЕКТОРЫ.AB. CD 6(.AB+CD)*AD НАЙТИ (BD+AC) *(CA-DA)

Answer

Давайте разберём ваши вопросы по порядку. **1. Найти линейную комбинацию векторов AB - 3BC + 4CD.** Сначала найдём векторы AB, BC и CD: - \( AB = B - A = (0, 1, 3) - (4, 2, 5) = (-4, -1, -2) \) - \( BC = C - B = (-1, -1, 1) - (0, 1, 3) = (-1, -2, -2) \) - \( CD = D - C = (2, -2, 2) - (-1, -1, 1) = (3, -1, 1) \) Теперь подставим в формулу: \[ AB - 3BC + 4CD = (-4, -1, -2) - 3(-1, -2, -2) + 4(3, -1, 1) \] Выполним вычисления: 1. \( -3BC = (3, 6, 6) \) 2. \( 4CD = (12, -4, 4) \) Теперь складываем: \[ (-4, -1, -2) + (3, 6, 6) + (12, -4, 4) \] Соответственно, решаем по координатам: - Для первой координаты: \(-4 + 3 + 12 = 11\) - Для второй координаты: \(-1 + 6 - 4 = 1\) - Для третьей координаты: \(-2 + 6 + 4 = 8\) Таким образом, линейная комбинация \( AB - 3BC + 4CD = (11, 1, 8) \). **2. Найти длины векторов AB, BC, CD.** Длину вектора можно найти по формуле: \[ ||\mathbf{V}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \] Рассчитаем длину каждого вектора: - \( ||AB|| = ||(-4, -1, -2)|| = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21} \) - \( ||BC|| = ||(-1, -2, -2)|| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \) - \( ||CD|| = ||(3, -1, 1)|| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11} \) **3. Найти косинусы углов между векторами AB и BC, BC и CD.** Для нахождения косинуса угла между векторами используется формула: \[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{||\mathbf{A}|| \cdot ||\mathbf{B}||} \] Сначала найдем скалярное произведение векторов: - \( AB \cdot BC = (-4)(-1) + (-1)(-2) + (-2)(-2) = 4 + 2 + 4 = 10 \) - \( BC \cdot CD = (-1)(3) + (-2)(-1) + (-2)(1) = -3 + 2 - 2 = -3 \) Теперь рассчитываем косинусы: \[ \cos(AB, BC) = \frac{10}{\sqrt{21} \cdot 3} = \frac{10}{3\sqrt{21}} \] \[ \cos(BC, CD) = \frac{-3}{3 \cdot \sqrt{11}} = \frac{-1}{\sqrt{11}} \] **4. Вычислить, коллинеарны ли векторы AB и CD.** Векторы коллинеарны, если один из них является скалярным произведением другого. Проверим этот факт: - \( k \cdot AB = CD \) Для этого вычислим пропорции: - \( \frac{3}{-4} \), \( \frac{-1}{-1} \), \( \frac{1}{-2} \) Эти пропорции не равны, поэтому векторы AB и CD не коллинеарны. **5. Выяснить, ортогональны ли векторы AB и CD.** Векторы ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю. \[ AB \cdot CD = (-4)(3) + (-1)(-1) + (-2)(1) = -12 + 1 - 2 = -13 \] Так как \( -13 \neq 0 \), векторы не ортогональны. **6. Найти (AB + CD) * AD и (BD + AC) * (CA - DA).** Сначала найдем вектор AD: \[ AD = D - A = (2, -2, 2) - (4, 2, 5) = (-2, -4, -3) \] Теперь найдем \( AB + CD \): \[ AB + CD = (-4, -1, -2) + (3, -1, 1) = (-1, -2, -1) \] Теперь запишем: \[ (AB + CD) \cdot AD = (-1, -2, -1) \cdot (-2, -4, -3) = (-1)(-2) + (-2)(-4) + (-1)(-3) = 2 + 8 + 3 = 13 \] Теперь найдем вектор AC: \[ AC = C - A = (-1, -1, 1) - (4, 2, 5) = (-5, -3, -4) \] Найдём вектор BD: \[ BD = D - B = (2, -2, 2) - (0, 1, 3) = (2, -3, -1) \] Теперь сложим \( BD + AC \): \[ BD + AC = (2, -3, -1) + (-5, -3, -4) = (-3, -6, -5) \] И найдём \( CA - DA \): \[ CA = A - C = (4, 2, 5) - (-1, -1, 1) = (5, 3, 4) \] \[ DA = A - D = (4, 2, 5) - (2, -2, 2) = (2, 4, 3) \] Теперь выразим \( CA - DA \): \[ CA - DA = (5, 3, 4) - (2, 4, 3) = (3, -1, 1) \] Теперь нам нужно вычислить окончательный результат: \[ (BD + AC) \cdot (CA - DA) = (-3, -6, -5) \cdot (3, -1, 1) = (-3)(3) + (-6)(-1) + (-5)(1) = -9 + 6 - 5 = -8 \] Теперь у нас есть все требуемые результаты. Если есть еще вопросы или нужно углубить какой-то из пунктов, дайте знать!