Три орудия сделали залп по цели. Два орудия попали в цель. Найти вероятность того, что 1-е орудие попало в цель, если вероятности попадания в цель для орудий соответственно равны 0.1, 0.9, 0.95.
Для решения этой задачи применим теорему Байеса. Обозначим события:
- \( A_1 \): первое орудие попало в цель.
- \( A_2 \): второе орудие попало в цель.
- \( A_3 \): третье орудие попало в цель.
- \( B \): два орудия попали в цель.
Нам нужно найти \( P(A_1 | B) \).
Сначала вычислим вероятности попадания в цель для каждого орудия:
- \( P(A_1) = 0.1 \)
- \( P(A_2) = 0.9 \)
- \( P(A_3) = 0.95 \)
Теперь найдём \( P(B | A_1) \), \( P(B | A_2) \) и \( P(B | A_3) \):
Случай, когда первое орудие попало: Если первое орудие попало, то необходимо, чтобы одно из оставшихся двух орудий (второе или третье) также попало. Таким образом:
- Второе попало и третье не попало: \( P(A_2) \cdot (1 - P(A_3)) = 0.9 \cdot 0.05 = 0.045 \)
- Второе не попало и третье попало: \( (1 - P(A_2)) \cdot P(A_3) = 0.1 \cdot 0.95 = 0.095 \)
- Оба орудия попали: \( P(A_2) \cdot P(A_3) = 0.9 \cdot 0.95 = 0.855 \)
Таким образом: \[ P(B | A_1) = P(A_2) \cdot P(A_3) + P(A_2) \cdot (1 - P(A_3)) + (1 - P(A_2)) \cdot P(A_3 = 0.045 + 0.095 + 0.855 = 0.995 \]
Случай, когда первое орудие не попало: Если первое орудие не попало, чтобы получить два попадания, оба оставшихся орудия должны попасть. \[ P(B | \neg A_1) = P(A_2) \cdot P(A_3) = 0.9 \cdot 0.95 = 0.855 \]
Теперь можем вычислить \( P(B) \) с использованием формулы полной вероятности: \[ P(B) = P(B | A_1) \cdot P(A_1) + P(B | \neg A_1) \cdot P(\neg A_1) \] где \( P(\neg A_1) = 1 - P(A_1) = 0.9 \).
Подставляем значения: \[ P(B) = 0.995 \cdot 0.1 + 0.855 \cdot 0.9 = 0.0995 + 0.7695 = 0.869 \]
Теперь можем найти \( P(A_1 | B) \): \[ P(A_1 | B) = \frac{P(B | A_1) \cdot P(A_1)}{P(B)} = \frac{0.995 \cdot 0.1}{0.869} \] \[ P(A_1 | B) \approx \frac{0.0995}{0.869} \approx 0.1143 \]
Итак, вероятность того, что первое орудие попало в цель, если два орудия попали в цель, примерно равна \( 0.1143 \) или \( 11.43\% \).
