реши систему x^2+y^2+2xy=9 x-y=1

Чтобы решить систему уравнений

1. \( x^2 + y^2 + 2xy = 9 \)
2. \( x - y = 1 \),

начнем с того, что выражаем одну переменную через другую из второго уравнения. Из уравнения \( x - y = 1 \) получаем:

\[ x = y + 1. \]

Теперь подставим это выражение для \( x \) в первое уравнение. Получим:

\[ (y + 1)^2 + y^2 + 2(y + 1)y = 9. \]

Раскроем скобки:

\[ (y^2 + 2y + 1) + y^2 + 2(y^2 + y) = 9. \]

Соберем все термины:

\[ y^2 + 2y + 1 + y^2 + 2y^2 + 2y = 9. \]

Упростим это уравнение, объединив подобные члены:

\[ 4y^2 + 6y + 1 = 9. \]

Переносим 9 на левую сторону:

\[ 4y^2 + 6y + 1 - 9 = 0, \]

что упростится до:

\[ 4y^2 + 6y - 8 = 0. \]

Теперь можем применить формулу дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 4 \), \( b = 6 \), \( c = -8 \):

\[ D = 6^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-8) = 36 + 128 = 164. \]

Теперь найдем корни уравнения с использованием формулы корней:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{164}}{8}. \]

Упростим \(\sqrt{164}\):

\[ \sqrt{164} = 2\sqrt{41}, \]

поэтому:

\[ y = \frac{-6 \pm 2\sqrt{41}}{8} = \frac{-3 \pm \sqrt{41}}{4}. \]

Теперь найдём соответствующие значения \( x \) для каждого значения \( y \):

1. Для \( y_1 = \frac{-3 + \sqrt{41}}{4} \):

\[ x_1 = y_1 + 1 = \frac{-3 + \sqrt{41}}{4} + 1 = \frac{-3 + \sqrt{41} + 4}{4} = \frac{1 + \sqrt{41}}{4}. \]

2. Для \( y_2 = \frac{-3 - \sqrt{41}}{4} \):

\[ x_2 = y_2 + 1 = \frac{-3 - \sqrt{41}}{4} + 1 = \frac{-3 - \sqrt{41} + 4}{4} = \frac{1 - \sqrt{41}}{4}. \]

Итак, мы имеем два решения для данной системы:

1. \( \left( \frac{1 + \sqrt{41}}{4}, \frac{-3 + \sqrt{41}}{4} \right) \)
2. \( \left( \frac{1 - \sqrt{41}}{4}, \frac{-3 - \sqrt{41}}{4} \right) \).

Эти точки являются решениями системы уравнений.