Две бригады в фермерском хозяйстве копали картофель. Работая вместе, бригады выкопали картофель с поля за 5 часов. Если бы первая бригада работала в два раза медленнее, а вторая бригада - в два раза быстрее, то они выкопали бы картофель с такого же поля за 4 часа. За сколько часов выкопала бы картофель с такого же поля первая бригада работая одна?

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Обозначим скорость первой бригады как \( v_1 \) (в картофеле, выкопанном за час), а скорость второй бригады как \( v_2 \). Из условия задачи знаем, что когда обе бригады работают вместе, они выкопали картофель за 5 часов. Это значит, что их общая работа за 5 часов составляет 1 поле. То есть:

\[ 5(v_1 + v_2) = 1 \quad \text{(1)} \]

Теперь рассмотрим второе условие: если первая бригада работает в два раза медленнее, т.е. её скорость пусть будет \( \frac{v_1}{2} \), а вторая бригада работает в два раза быстрее, т.е. её скорость становится \( 2v_2 \), тогда они выкопают картофель за 4 часа. Получаем уравнение:

\[ 4\left(\frac{v_1}{2} + 2v_2\right) = 1 \quad \text{(2)} \]

Теперь упростим второе уравнение:

\[ 4\left(\frac{v_1}{2} + 2v_2\right) = 1 \\ 2v_1 + 8v_2 = 1 \quad \text{(3)} \]

Теперь у нас есть две системы уравнений:

1. \( 5(v_1 + v_2) = 1 \)
2. \( 2v_1 + 8v_2 = 1 \)

Из первого уравнения выразим \( v_1 + v_2 \):

\[ v_1 + v_2 = \frac{1}{5} \quad \text{(4)} \]

Теперь мы можем выразить \( v_1 \) через \( v_2 \):

\[ v_1 = \frac{1}{5} - v_2 \quad \text{(5)} \]

Подставим (5) в (3):

\[ 2\left(\frac{1}{5} - v_2\right) + 8v_2 = 1 \\ \frac{2}{5} - 2v_2 + 8v_2 = 1 \\ \frac{2}{5} + 6v_2 = 1 \]

Теперь выразим \( v_2 \):

\[ 6v_2 = 1 - \frac{2}{5} \\ 6v_2 = \frac{5}{5} - \frac{2}{5} \\ 6v_2 = \frac{3}{5} \\ v_2 = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} \]

Теперь подставим значение \( v_2 \) обратно в (5) для нахождения \( v_1 \):

\[ v_1 = \frac{1}{5} - \frac{1}{10} \\ v_1 = \frac{2}{10} - \frac{1}{10} = \frac{1}{10} \]

Теперь у нас есть скорости обеих бригад: \( v_1 = \frac{1}{10} \) и \( v_2 = \frac{1}{10} \).

Чтобы найти время, за которое первая бригада выкопает картофель сама, используем формулу:

\[ t = \frac{1}{v_1} = \frac{1}{\frac{1}{10}} = 10 \text{ часов.} \]

Таким образом, первая бригада выкопала бы картофель с такого же поля за 10 часов.