Реши уравнения методом креймера

Привет! Давай решим эту систему уравнений методом Крамера.

У нас есть система:

1. \( x_1 + 2x_2 + x_3 = -2 \)
2. \( -2x_1 - 3x_2 + x_3 = -1 \)
3. \( 3x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 0 \)

Метод Крамера использует определители для решения систем линейных уравнений.

Шаг 1: Находим определитель матрицы коэффициентов \( D \).

Матрица коэффициентов:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -2 & -3 & 1 \\ 3 & 2 & -2 \end{pmatrix} \]

Определитель \( D \) равен:

\[ D = 1 \cdot (-3 \cdot (-2) - 1 \cdot 2) - 2 \cdot (-2 \cdot (-2) - 1 \cdot 3) + 1 \cdot (-2 \cdot 2 - (-3) \cdot 3) \]

\[ D = 1 \cdot (6 - 2) - 2 \cdot (4 - 3) + 1 \cdot (-4 + 9) \]

\[ D = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5 \]

\[ D = 4 - 2 + 5 = 7 \]

Шаг 2: Находим \( D_{x1}, D_{x2}, D_{x3} \):

Для \( D_{x1} \), заменяем первый столбец на столбец свободных членов \([-2, -1, 0]\):

\[ D_{x1} = \begin{vmatrix} -2 & 2 & 1 \\ -1 & -3 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \end{vmatrix} \]

Рассчитываем \( D_{x1} \):

\[ D_{x1} = -2 \cdot (-3 \cdot (-2) - 1 \cdot 2) - 2 \cdot (-1 \cdot (-2) - 1 \cdot 0) + 1 \cdot (-1 \cdot 2 - (-3) \cdot 0) \]

\[ D_{x1} = -2 \cdot (6 - 2) - 2 \cdot (2 - 0) + 1 \cdot (-2 - 0) \]

\[ D_{x1} = -2 \cdot 4 - 2 \cdot 2 - 2 = -8 - 4 - 2 = -14 \]

Для \( D_{x2} \), заменяем второй столбец на столбец свободных членов:

\[ D_{x2} = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & -1 & 1 \\ 3 & 0 & -2 \end{vmatrix} \]

Рассчитываем \( D_{x2} \):

\[ D_{x2} = 1 \cdot (-1 \cdot (-2) - 1 \cdot 0) + 2 \cdot (-2 \cdot (-2) - 1 \cdot 3) + 1 \cdot (-2 \cdot 0 - (-1) \cdot 3) \]

\[ D_{x2} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (4 - 3) + 1 \cdot -3 \]

\[ D_{x2} = 2 + 2 - 3 = 1 \]

Для \( D_{x3} \), заменяем третий столбец на столбец свободных членов:

\[ D_{x3} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -2 \\ -2 & -3 & -1 \\ 3 & 2 & 0 \end{vmatrix} \]

Рассчитываем \( D_{x3} \):

\[ D_{x3} = 1 \cdot (-3 \cdot 0 - (-1) \cdot 2) - 2 \cdot (-2 \cdot 0 - (-1) \cdot 3) + (-2) \cdot (-2 \cdot 2 - (-3) \cdot 3) \]

\[ D_{x3} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 - 2 \cdot (4 + 9) \]

\[ D_{x3} = 2 + 6 - 26 = -18 \]

Шаг 3: Находим решения \( x_1, x_2, x_3 \):

\[ x_1 = \frac{D_{x1}}{D} = \frac{-14}{7} = -2 \]

\[ x_2 = \frac{D_{x2}}{D} = \frac{1}{7} \approx 0.143 \]

\[ x_3 = \frac{D_{x3}}{D} = \frac{-18}{7} \approx -2.571 \]

Вот и всё! Надеюсь, я всё понятно объяснил. Если что-то неясно, дай знать!