Решите неравенство X2 + 14x +13>0
Чтобы решить неравенство \(x^2 + 14x + 13 > 0\), выполните следующие шаги:
Найдите корни уравнения. Сначала необходимо решить соответствующее квадратное уравнение \(x^2 + 14x + 13 = 0\). Мы можем использовать дискриминант для этого.
Формула для дискриминанта \(D\): \[ D = b^2 - 4ac \] Здесь \(a = 1\), \(b = 14\), \(c = 13\). Подставим значения: \[ D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 196 - 52 = 144 \]
Вычислите корни. Если дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня. Находим корни с помощью формулы: \[ x_1 = \frac{{-b - \sqrt{D}}}{2a}, \quad x_2 = \frac{{-b + \sqrt{D}}}{2a} \] Подставляем значения: \[ x_1 = \frac{{-14 - 12}}{2} = \frac{{-26}}{2} = -13 \] \[ x_2 = \frac{{-14 + 12}}{2} = \frac{{-2}}{2} = -1 \]
Проанализируйте знак функции. Теперь у нас есть корни \(x_1 = -13\) и \(x_2 = -1\). Квадратная функция \(f(x) = x^2 + 14x + 13\) – это парабола, открывающаяся вверх, так как при \(a = 1 > 0\). Это означает, что функция будет положительной вне интервала между корнями.
Определите интервалы. Проверим знак функции на интервалах:
- Для \(x < -13\) (например, \(x = -14\)): \[ f(-14) = (-14)^2 + 14(-14) + 13 = 196 - 196 + 13 = 13 > 0 \]
- Для \(-13 < x < -1\) (например, \(x = -10\)): \[ f(-10) = (-10)^2 + 14(-10) + 13 = 100 - 140 + 13 = -27 < 0 \]
- Для \(x > -1\) (например, \(x = 0\)): \[ f(0) = 0^2 + 14 \cdot 0 + 13 = 13 > 0 \]
Запишите решение неравенства. Объединяя полученные данные, мы видим, что неравенство \(x^2 + 14x + 13 > 0\) выполняется на интервалах: \[ x < -13 \quad \text{или} \quad x > -1 \] В интервале \((-13, -1)\) функция отрицательна.
Таким образом, конечный ответ: \[ x \in (-\infty, -13) \cup (-1, +\infty) \]
