Составить уравнение эллипса если две его вершины находятся в точках (-5;0) и (5;0), а фокусы - в точках (-3;0) и (3;0)

Чтобы составить уравнение эллипса, имея его вершины и фокусы, нужно следовать нескольким шагам.

1. Определим основные параметры эллипса:

   • Вершины находятся в точках (-5, 0) и (5, 0). Это означает, что расстояние между вершинами составляет 10, следовательно, полуось длинной а равна 5: \[ a = 5 \]
   • Фокусы находятся в точках (-3, 0) и (3, 0). Расстояние от центра до фокуса равно c. Поскольку фокусы находятся на одной оси, центр эллипса находится в начале координат (0, 0), следовательно, c равен 3: \[ c = 3 \]

2. Используем соотношение для эллипса: В эллипсе между полуосью (a), фокусным расстоянием (c) и полуосью (b) существует соотношение: \[ c^2 = a^2 - b^2 \] Подставим известные значения: \[ 3^2 = 5^2 - b^2 \] \[ 9 = 25 - b^2 \] \[ b^2 = 25 - 9 = 16 \] \[ b = 4 \]

3. Составляем уравнение эллипса: Уравнение эллипса с центром в (0,0), с горизонтальной осью симметрии имеет вид: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Подставим найденные значения a и b: \[ \frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1 \] \[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 \]

Таким образом, уравнение эллипса, чьи вершины находятся в точках (-5, 0) и (5, 0), а фокусы - в точках (-3, 0) и (3, 0), будет следующим: \[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 \]