(4x³-12)⁵

Чтобы разложить выражение \((4x^3 - 12)^5\), мы можем использовать формулу бинома Ньютона. Формула бинома Ньютона позволяет нам разложить выражение вида \((a + b)^n\) в сумму членoв. В данном случае \(a = 4x^3\), \(b = -12\) и \(n = 5\).

Формула выглядит следующим образом:

\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) a^{n-k} b^k \]

где \(C(n, k)\) — это биномиальный коэффициент, который вычисляется как:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Теперь применим это к нашему примеру. Подставим значения:

\[ (4x^3 - 12)^5 = \sum_{k=0}^{5} C(5, k) (4x^3)^{5-k} (-12)^k \]

Теперь давайте посчитаем каждый член суммы:

1. Для \(k = 0\): \[ C(5, 0) (4x^3)^5 (-12)^0 = 1 \cdot (4x^3)^5 \cdot 1 = 1024x^{15} \]

2. Для \(k = 1\): \[ C(5, 1) (4x^3)^4 (-12)^1 = 5 \cdot (4x^3)^4 \cdot (-12) = -5 \cdot 256x^{12} \cdot 12 = -15360x^{12} \]

3. Для \(k = 2\): \[ C(5, 2) (4x^3)^3 (-12)^2 = 10 \cdot (4x^3)^3 \cdot 144 = 10 \cdot 64x^9 \cdot 144 = 86400x^9 \]

4. Для \(k = 3\): \[ C(5, 3) (4x^3)^2 (-12)^3 = 10 \cdot (4x^3)^2 \cdot (-1728) = -10 \cdot 16x^6 \cdot 1728 = -276480x^6 \]

5. Для \(k = 4\): \[ C(5, 4) (4x^3)^1 (-12)^4 = 5 \cdot (4x^3) \cdot 20736 = 5 \cdot 4x^3 \cdot 20736 = 414720x^3 \]

6. Для \(k = 5\): \[ C(5, 5) (4x^3)^0 (-12)^5 = 1 \cdot 1 \cdot (-248832) = -248832 \]

Теперь соберем все члены вместе:

\[ (4x^3 - 12)^5 = 1024x^{15} - 15360x^{12} + 86400x^9 - 276480x^6 + 414720x^3 - 248832 \]

Таким образом, разложение вашего выражения будет:

\[ 1024x^{15} - 15360x^{12} + 86400x^9 - 276480x^6 + 414720x^3 - 248832 \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другим материалом, не стесняйтесь спрашивать!