x-3:x+1больше или меньше 0

Чтобы решить неравенство \( \frac{x-3}{x+1} > 0 \), нужно определить, при каких значениях \( x \) дробь больше нуля. Это произойдет, когда числитель и знаменатель имеют одинаковый знак (то есть оба положительны или оба отрицательны).

1. Найдем корни числителя и знаменателя:

   • Числитель: \( x - 3 = 0 \) → \( x = 3 \)
   • Знаменатель: \( x + 1 = 0 \) → \( x = -1 \)

2. Определим промежутки, на которых дробь будет меняться:

   • Числовая прямя́я делится на промежутки: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 3) \), \( (3, +\infty) \).

3. Проверим знак дроби в каждом промежутке:

   • Для \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \[ \frac{-2 - 3}{-2 + 1} = \frac{-5}{-1} = 5 > 0 \]
   • Для \( -1 < x < 3 \) (например, \( x = 0 \)): \[ \frac{0 - 3}{0 + 1} = \frac{-3}{1} = -3 < 0 \]
   • Для \( x > 3 \) (например, \( x = 4 \)): \[ \frac{4 - 3}{4 + 1} = \frac{1}{5} > 0 \]

4. Итоговые данные:

   • Дробь \( \frac{x-3}{x+1} \) будет больше нуля на интервалах:
     • \( (-\infty, -1) \)
     • \( (3, +\infty) \)

Таким образом, окончательный ответ: \[ x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty) \]