вычислите угол между векторами ā{ 2 в корне ; 2 в корне ; 2} и вектор b { -3 ; -3 ; 0}

Чтобы найти угол между двумя векторами \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} \\ 2\sqrt{2} \\ 2 \end{pmatrix}\) и \(\vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\), мы можем воспользоваться формулой, связывающей скалярное произведение векторов с их длинами и углом между ними:

\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \]

1. Найдем скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\):

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (2\sqrt{2})(-3) + (2\sqrt{2})(-3) + (2)(0) \]

Расчет:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = -6\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 0 = -12\sqrt{2} \]

2. Найдем длины векторов \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\):

Длина вектора \(\vec{a}\):

\[ |\vec{a}| = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{8 + 8 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]

Длина вектора \(\vec{b}\):

\[ |\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 9 + 0} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]

3. Подставим найденные значения в формулу для \(\cos(\theta)\):

\[ \cos(\theta) = \frac{-12\sqrt{2}}{(2\sqrt{5})(3\sqrt{2})} = \frac{-12\sqrt{2}}{6\sqrt{10}} = \frac{-2\sqrt{2}}{\sqrt{10}} \]

4. Упростим \(\frac{-2\sqrt{2}}{\sqrt{10}}\):

Обозначив \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2 \cdot 5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\), получаем:

\[ \cos(\theta) = -\frac{2}{\sqrt{5}} \]

5. Найдем угол \(\theta\), используя обратную тригонометрическую функцию:

\[ \theta = \cos^{-1}\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \]

В заключение, угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) можно найти, исследуя это значение с помощью калькулятора. Это значение будет в радианах или градусах в зависимости от ваших предпочтений и учебной программы. Удачи в подготовке к экзаменам!