- Чтобы найти площадь треугольника, в котором две стороны равны 12 см и 9 см, а угол между ними составляет 30 градусов, можно использовать формулу:
[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C), ]
где ( a ) и ( b ) - длины сторон, а ( C ) - угол между ними.
Подставляя значения, получаем:
[ S = \frac{1}{2} \times 12 \times 9 \times \sin(30^\circ). ]
Зная, что ( \sin(30^\circ) = 0.5 ), мы можем упростить:
[ S = \frac{1}{2} \times 12 \times 9 \times 0.5 = \frac{108}{2} = 54 , \text{см}^2. ]
Таким образом, площадь треугольника равна 54 см².
- Площадь ромба можно найти по формуле:
[ S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2, ]
где ( d_1 ) и ( d_2 ) - диагонали ромба. Подставляя известные значения ( d_1 = 8 , \text{см} ) и ( d_2 = 7 , \text{см} ):
[ S = \frac{1}{2} \times 8 \times 7 = \frac{56}{2} = 28 , \text{см}^2. ]
Таким образом, площадь ромба равна 28 см².
- Чтобы найти площадь треугольника ABC, где угол A равен 45 градусов и длина стороны BC равна 10 см, нужно использовать формулу для площади через основание и высоту:
[ S = \frac{1}{2} \times основания \times высота. ]
Сначала найдем длину стороны AC:
[ AC = AD + DC = 6 + 8 = 14 , \text{см}. ]
Теперь, чтобы найти высоту BD, можно использовать тригонометрию. В треугольнике ABD угол A равен 45 градусов, поэтому:
[ \tan(45^\circ) = \frac{BD}{AD}, ]
где ( \tan(45^\circ) = 1 ):
[ BD = AD = 6 , \text{см}. ]
Теперь можем найти площадь треугольника ABC:
[ S = \frac{1}{2} \times BC \times BD = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 = 30 , \text{см}^2. ]
Таким образом, площадь треугольника равна 30 см², а высота, проведенная к стороне BC, равна 6 см.
- Чтобы найти вторую диагональ ромба, воспользуемся формулой площади:
[ S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2. ]
У нас есть площадь ( S = 48 , \text{см}^2 ) и одна диагональ ( d_1 = 12 , \text{см} ). Подставляем в формулу:
[ 48 = \frac{1}{2} \times 12 \times d_2. ]
Умножим обе стороны на 2:
[ 96 = 12 \times d_2. ]
Теперь делим обе стороны на 12:
[ d_2 = \frac{96}{12} = 8 , \text{см}. ]
Таким образом, вторая диагональ равна 8 см.
