Найди критические точки функции f(x) =e^4x/x+3. Если таких точек несколько, в ответе укажи их сумму.
Чтобы найти критические точки функции \( f(x) = \frac{e^{4x}}{x + 3} \), нам нужно сначала вычислить производную этой функции и установить, где она равна нулю или не определена.
Начнем с нахождения производной. Используем правило частного: \[ f'(x) = \frac{(u'v - uv')}{v^2}, \] где \( u = e^{4x} \) и \( v = x + 3 \).
Найдем производные \( u' \) и \( v' \): \[ u' = 4e^{4x}, \quad v' = 1. \]
Теперь подставим в формулу для производной: \[ f'(x) = \frac{(4e^{4x}(x + 3) - e^{4x}(1))}{(x + 3)^2}. \] Упростим числитель: \[ = \frac{e^{4x}(4(x + 3) - 1)}{(x + 3)^2} = \frac{e^{4x}(4x + 12 - 1)}{(x + 3)^2} = \frac{e^{4x}(4x + 11)}{(x + 3)^2}. \]
Для нахождения критических точек установим производную равной нулю: \[ \frac{e^{4x}(4x + 11)}{(x + 3)^2} = 0. \] Экспоненциальная функция \( e^{4x} \) не равна нулю, поэтому нам нужно решить только уравнение: \[ 4x + 11 = 0. \] Отсюда: \[ 4x = -11 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{11}{4}. \]
Находим значение функции в критической точке: \[ x = -\frac{11}{4}, \quad f\left(-\frac{11}{4}\right) = \frac{e^{4(-\frac{11}{4})}}{-\frac{11}{4} + 3} = \frac{e^{-11}}{-\frac{11}{4} + \frac{12}{4}} = \frac{e^{-11}}{\frac{1}{4}} = 4e^{-11}. \]
Таким образом, у нас одна критическая точка \( x = -\frac{11}{4} \).
Сумма критических точек (в данном случае она одна): \[ -\frac{11}{4}. \]
Ответ: критическая точка \( x = -\frac{11}{4} \); её сумма: \( -\frac{11}{4} \).
