Реши задачу с помощью диаграммы Эйлера венна. Из 15 участников ансамбля, 8 играют на гитаре, 5 на ударных инструментах, 7 на духовых. Гитарой и ударным 3, ударным и духовым 2, гитарой и духовным 4, остальные только поют. сколько певцов
Чтобы решить эту задачу с помощью диаграммы Эйлера-Венна, давайте обозначим множество участников, играющих на каждом из инструментов.
Обозначим:
- \( G \) — количество участников, играющих на гитаре.
- \( D \) — количество участников, играющих на ударных.
- \( B \) — количество участников, играющих на духовых.
Из условия мы знаем:
- \( |G| = 8 \) (играют на гитаре)
- \( |D| = 5 \) (играют на ударных)
- \( |B| = 7 \) (играют на духовых)
- \( |G \cap D| = 3 \) (играют на гитаре и ударных)
- \( |D \cap B| = 2 \) (играют на ударных и духовых)
- \( |G \cap B| = 4 \) (играют на гитаре и духовых)
Теперь обозначим количество участников, играющих на всех трех инструментах, как \( x \).
Согласно принципу включения-исключения, количество участников, играющих хотя бы на одном инструменте, определится так:
\[ |G \cup D \cup B| = |G| + |D| + |B| - |G \cap D| - |D \cap B| - |G \cap B| + |G \cap D \cap B| \]
Подставляем известные значения:
\[ |G \cup D \cup B| = 8 + 5 + 7 - 3 - 2 - 4 + x \]
Упрощаем:
\[ |G \cup D \cup B| = 15 + x - 9 = 6 + x \]
Так как всего участников ансамбля 15, то:
\[ 6 + x = 15 \implies x = 9 \]
Теперь определим количество участников в каждом сочетании:
- Игроки только на гитаре и ударных, но не на духовых: \( |G \cap D| - x = 3 - 9 = -6\), что невозможно, значит это нельзя так интерпретировать. Нужно ввести другой метод для правил сочетания.
- Учитывая, что все числа должны быть неотрицательными, видно, что \( x \) равен 2 (количество участников, которые играют на всех трех инструментах).
Поэтому теперь, имея х, мы можем найти остальных:
- Игроки только на гитаре: \( |G| - |G \cap D| - |G \cap B| + |G \cap D \cap B| = 8 - 3 - 4 + 2 = 3\),
- Игроки только на ударных: \( |D| - |G \cap D| - |D \cap B| + |G \cap D \cap B| = 5 - 3 - 2 + 2 = 0\),
- Игроки только на духовых: \( |B| - |G \cap B| - |D \cap B| + |G \cap D \cap B| = 7 - 4 - 2 + 2 = 3\).
- Игроки только поющие: всего участников 15 минус играющие инструменты:
\[ 15 - (3 + 0 + 3 + (9 \text{ играющих на 3 инструментах})) = 15 - 15 = 0 \]
Таким образом, количество певцов, которые не играют на инструментах, равно 0.
