D^2y/dx^2=2dy/dx, если y=2/3, dy/dx=1, при x=0
Чтобы решить уравнение второго порядка \( \frac{d^2y}{dx^2} = 2 \frac{dy}{dx} \) с заданными начальными условиями \( y(0) = \frac{2}{3} \) и \( \frac{dy}{dx}(0) = 1 \), давайте разберём его шаг за шагом.
Обозначим переменные: Давайте введем обозначение \( v = \frac{dy}{dx} \). Тогда уравнение можно переписать как:
\[ \frac{dv}{dx} = 2v \]
Разделим переменные:
\[ \frac{dv}{v} = 2dx \]
Проинтегрируем обе стороны:
\[ \int \frac{1}{v} dv = \int 2 dx \]
Это даёт:
\[ \ln |v| = 2x + C_1 \]
где \( C_1 \) – константа интегрирования.
Экспоненцируем обе стороны:
\[ |v| = e^{2x + C_1} = e^{C_1} e^{2x} \]
Обозначим \( e^{C_1} = C \), тогда:
\[ v = Ce^{2x} \]
Возвращаемся к \( \frac{dy}{dx} \):
Таким образом, мы имеем:
\[ \frac{dy}{dx} = Ce^{2x} \]
Интегрируем, чтобы получить \( y \):
\[ y = \int Ce^{2x} dx = \frac{C}{2} e^{2x} + C_2 \]
где \( C_2 \) – другая константа интегрирования.
Используем начальные условия \( \frac{dy}{dx}(0) = 1 \):
Подставляем \( x = 0 \):
\[ 1 = C e^{0} \Rightarrow C = 1 \]
Таким образом, у нас получается:
\[ y = \frac{1}{2} e^{2x} + C_2 \]
Теперь используем второе начальное условие \( y(0) = \frac{2}{3} \):
Подставляем \( x = 0 \):
\[ \frac{2}{3} = \frac{1}{2} e^{0} + C_2 \Rightarrow \frac{2}{3} = \frac{1}{2} + C_2 \]
Отсюда:
\[ C_2 = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6} \]
Итак, окончательное решение:
Подставляя значения \( C \) и \( C_2 \) в выражение для \( y \):
\[ y = \frac{1}{2} e^{2x} + \frac{1}{6} \]
Это и есть общее решение уравнения с заданными начальными условиями. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другим материалом, не стесняйтесь спрашивать!
