Сколько будет дробь в числите корень 15а^9 умножить на корень 18b^8 а в знаменатели корень a^5b^8 при a=4 b=7
Чтобы решить данное выражение, начнем с разбора каждого из корней и последующим подставлением значений \(a = 4\) и \(b = 7\).
- Запишем исходную дробь:
\[ \frac{\sqrt{15a^9} \cdot \sqrt{18b^8}}{\sqrt{a^5b^8}} \]
- Объединим корни в числителе:
\[ \sqrt{15a^9 \cdot 18b^8} \]
- Посчитаем произведение \(15 \cdot 18\):
\[ 15 \cdot 18 = 270 \]
Таким образом, дробь становится:
\[ \frac{\sqrt{270a^9b^8}}{\sqrt{a^5b^8}} \]
- Упростим дробь, объединив корни:
\[ \sqrt{\frac{270a^9b^8}{a^5b^8}} = \sqrt{270 \cdot a^{9-5} \cdot b^{8-8}} = \sqrt{270 \cdot a^4} \]
- Теперь необходимо подставить значения \(a = 4\) и \(b = 7\):
\[ \sqrt{270 \cdot (4^4)} = \sqrt{270 \cdot 256} \]
- Посчитаем произведение \(270 \cdot 256\):
\[ 270 \cdot 256 = 69120 \]
- Теперь нашли корень из \(69120\):
\[ \sqrt{69120} \]
Решим это до конца. Чтобы найти значение корня, можно выразить число в виде простых множителей или воспользоваться калькулятором.
Разложим \(69120\) на множители:
- \(69120\) делится на \(2\): \(69120 \div 2 = 34560\)
- \(34560 \div 2 = 17280\)
- \(17280 \div 2 = 8640\)
- \(8640 \div 2 = 4320\)
- \(4320 \div 2 = 2160\)
- \(2160 \div 2 = 1080\)
- \(1080 \div 2 = 540\)
- \(540 \div 2 = 270\)
- \(270 \div 2 = 135\)
- \(135 \div 3 = 45\)
- \(45 \div 3 = 15\)
- \(15 \div 3 = 5\)
В результате разложения мы нашли:
\[ 69120 = 2^8 \cdot 3^3 \cdot 5^1 \]
Теперь вычисляем квадратный корень:
\[ \sqrt{69120} = \sqrt{2^8} \cdot \sqrt{3^3} \cdot \sqrt{5^1} = 2^4 \cdot 3^{1.5} \cdot 5^{0.5} = 16 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \]
Таким образом, корень равен:
\[ 48 \sqrt{15} \]
Ответ: выражение равно \(48 \sqrt{15}\).
