значение арифметического выражения: 56^210+35^80+17^15 записали в системе счисления с основанием 14. В этой системе используются цифры от 0 до 9 и символы №, #, @, $ для чисел от…

Чтобы решить задачу, сначала нужно вычислить значение арифметического выражения \( 56^{210} + 35^{80} + 17^{15} \). Однако, такое большое число слишком сложно вычислить напрямую из-за его огромности. Вместо этого мы можем рассмотреть его записывание в системе счисления с основанием 14 и определить, сколько раз цифра $ (которая соответствует 12 в десятичной системе) встречается в этом числе.

1. Переведем каждое из чисел в систему счисления с основанием 14. В этой системе цифры от 0 до 9 представляют свои значения, а 10, 11, 12 и 13 соответствуют символам №, #, @ и $, соответственно.

2. Мы можем использовать правило о остатках для определения, сколько раз цифра $ (то есть 12) будет встречаться в числе. В конечном итоге, важно понять, сколько раз число делится на \( 14^{n} \) для разных \( n \).

Однако, учитывая, что у нас есть большие степени, мы можем опираться на свойства чисел больших степеней:

• Окончательная цифра числа в системе с основанием 14 определяется остатку при делении на 14.
• Оценим каждое слагаемое в выражении.

Теперь рассмотрим остатки от деления каждого члена на 14:

• \( 56 \mod 14 = 0 \), это число будет давать при возведении в любую степень 0.
• \( 35 \mod 14 = 7 \), здесь нам будет нужно посмотреть на \( 7^{80} \mod 14 \).
• \( 17 \mod 14 = 3 \), тогда \( 3^{15} \mod 14 \).

Теперь решим \( 7^{80} \mod 14 \) и \( 3^{15} \mod 14 \):

• \( 7^{80} \mod 14 \) всегда будет давать 0 (так как \( 7^1 = 7\), а далее в произведении будет умножение с числом 7 и даст 0).
• \( 3^{15} \mod 14 \) нужно рассчитать. \( 3^1 = 3 \), \( 3^2 = 9 \), \( 3^3 = 27 \mod 14 = 13 \). Затем можно заметить, что \( 3^6 = (3^3)^2 = 169 \mod 14 = 1 \), и повторится каждые 6 степеней.

Теперь можно свести \( 3^{15} \mod 14 \):

• Поскольку \( 15 = 2 \times 6 + 3 \), тогда \( 3^{15} \equiv 3^3 \equiv 13 \mod 14 \).

Используя эти результаты, мы имеем:

• \( 56^{210} \mod 14 = 0 \)
• \( 35^{80} \mod 14 = 0 \)
• \( 17^{15} \mod 14 = 13 \)

Следовательно, общее выражение: \[ 0 + 0 + 13 \equiv 13 \mod 14. \]

Теперь 13 соответствует символу @ в системе счисления с основанием 14. В этом числе 13, представляющим @, лишь один раз, следовательно, цифра $ (которая соответствует 12) не встречается.

Таким образом, ответ на вопрос: цифра $ встречается 0 раз в записи числа в системе счисления с основанием 14.