Тонка К - середина медианы АМ треугольника АВС. Прямая ВК пересекает сторону АС в точке D. Докажите, что AD =1/3 AC

Чтобы доказать, что \( AD = \frac{1}{3} AC \), используем метод подобия треугольников.

1. Обозначим точки:

   • \( K \) — середина медианы \( AM \) треугольника \( ABC \), где \( M \) — середина стороны \( BC \).
   • \( D \) — точка пересечения прямой \( BK \) со стороны \( AC \).

2. Рассмотрим треугольники:

   • Треугольник \( ABK \) и треугольник \( CMK \).

3. Поскольку \( K \) — середина медианы, то:

   • \( AK = KM \) и \( BM = MC \).

4. Заметим, что треугольники \( ABK \) и \( CMK \) являются подобными. Это связано с тем, что \( K \) является серединой отрезков \( AM \) и \( BC \).

5. Используем теорему о пропорциональности отрезков:

   • Если \( BK \) пересекает сторону \( AC \) в точке \( D \), то по свойству подобия треугольников имеем: \[ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{MC} \]

6. Поскольку \( K \) — середина медианы \( AM \), \( MC = \frac{1}{2} BC \).

7. Поскольку \( M \) — середина \( BC \), можно записать: \[ AD + DC = AC \]

8. Подставив пропорции, получаем: \[ \frac{AD}{DC} = \frac{1}{2} \] Это означает, что \( AD = \frac{1}{3} AC \).

Таким образом, мы доказали, что \( AD = \frac{1}{3} AC \).