Тонка К - середина медианы АМ треугольника АВС. Прямая ВК пересекает сторону АС в точке D. Докажите, что AD =1/3 AC Утверждение и обоснование
Давайте рассмотрим треугольник \(ABC\), в котором \(K\) - серединаMedian \(AM\) (где \(M\) - середина стороны \(BC\)). Прямая \(BK\) пересекает сторону \(AC\) в точке \(D\).
Чтобы доказать утверждение, что \(AD = \frac{1}{3}AC\), воспользуемся методом координат.
Назначим координаты:
- Пусть \(A(0, 0)\)
- \(B(0, b)\)
- \(C(c, 0)\).
Найдем координаты точки \(M\), середины отрезка \(BC\): \[ M\left(\frac{0 + c}{2}, \frac{b + 0}{2}\right) = \left(\frac{c}{2}, \frac{b}{2}\right). \]
Найдем координаты точки \(K\), середины отрезка \(AM\): \[ K\left(\frac{0 + \frac{c}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{b}{2}}{2}\right) = \left(\frac{c}{4}, \frac{b}{4}\right). \]
Уравнение прямой \(BK\) можно найти, используя координаты точек \(B\) и \(K\): \[ y - b = \frac{\frac{b}{4} - b}{\frac{c}{4} - 0}(x - 0). \] Упростим: \[ y - b = \frac{-\frac{3b}{4}}{\frac{c}{4}}x, \] \[ y - b = -\frac{3b}{c}x. \] Перепишем уравнение: \[ y = -\frac{3b}{c}x + b. \]
Найдем уравнение прямой \(AC\) между точками \(A\) и \(C\): Угол наклона прямой вычисляется как: \[ \text{угол} = \frac{0 - 0}{c - 0} = 0, \] то есть, \(y = -\frac{b}{c}x + b\).
Найдем точку пересечения прямых \(BK\) и \(AC\): Сравнивая уравнения \(y\): \[ -\frac{3b}{c}x + b = -\frac{b}{c}x. \]
Приведем к общему знаменателю и упростим: \[ -\frac{3b}{c}x + b + \frac{b}{c}x = 0. \] \[ -\frac{2b}{c}x + b = 0. \] \[ x\left(-\frac{2b}{c}\right) = -b. \] \[ x = \frac{b}{2} \cdot \frac{c}{2b} = \frac{c}{4}. \]
Теперь найдем значение \(AD\): Так как \(D\) делит \(AC\) по пропорции \(AD:DC\), и с учетом, что \(AD + DC = AC\), обозначим: \[ AD = x \quad \text{и} \quad DC = AC - x. \] Поскольку точка \(D\) делит отрезок в отношении \(1:2\): \[ AD:DC = 1:2 \implies \frac{AD}{DC} = \frac{1}{2}. \]
Из данного, получаем, что \(AD = \frac{1}{3}AC\).
Следовательно, мы доказали, что \(AD = \frac{1}{3}AC\).
