Диск, вращаясь равноускоренно, в течении 10 с достиг предельной скорости 300 об/мин. С каким угловым ускорением он вращался и сколько оборотов он сделал за это время?
Чтобы решить задачу, начнем с формулировки основных физических понятий, связанных с угловым движением.
- Угловое ускорение (\( \alpha \)) можно найти, используя формулу:
\[
\alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}
\]
где:
- \( \Delta \omega \) — изменение угловой скорости (в радианах в секунду),
- \( \Delta t \) — время (в секундах).
Перед тем, как подставить значения, сначала переведем предельную скорость из оборотов в минуту (об/мин) в радианы в секунду (рад/с): \[ \omega = 300 \, \text{об/мин} \times \frac{2\pi \, \text{рад}}{1 \, \text{об}} \times \frac{1 \, \text{мин}}{60 \, \text{с}} = 31.4 \, \text{рад/с} \]
Теперь подставим значение в формулу для углового ускорения:
- Так как диск начинал вращаться с нулевой угловой скорости (\( \omega_0 = 0 \) рад/с), изменение угловой скорости составит: \[ \Delta \omega = \omega - \omega_0 = 31.4 \, \text{рад/с} - 0 = 31.4 \, \text{рад/с} \]
- Время (\( \Delta t = 10 \, \text{с} \)).
Таким образом, угловое ускорение будет: \[ \alpha = \frac{31.4 \, \text{рад/с}}{10 \, \text{с}} = 3.14 \, \text{рад/с}^2 \]
- Теперь мы можем рассчитать количество оборотов, сделанных диском за это время. Для этого используем формулу: \[ \theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 \] где:
- \( \theta \) — угол поворота (в радианах),
- \( \alpha \) — угловое ускорение,
- \( t \) — время.
Подставляя известные значения: \[ \theta = 0 \cdot 10 + \frac{1}{2} \cdot 3.14 \cdot (10)^2 = \frac{1}{2} \cdot 3.14 \cdot 100 = 157 \, \text{рад} \]
Теперь переведем угловое перемещение из радиан в обороты: \[ \text{Обороты} = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{157}{2\pi} \approx 25 \, \text{об} \]
Таким образом, диск вращался с угловым ускорением около \( 3.14 \, \text{рад/с}^2 \) и совершил приближенно \( 25 \) оборотов за 10 секунд.
