Буратино посадил в центре прямоугольного листа бумаги размером 20 см × 25 см круглую кляксу радиусом 3 см. Сразу после этого Буратино посадил ещѐ одну такую же кляксу, которая…

Чтобы найти вероятность того, что две круглые кляксы с радиусом 3 см слились в одну, сначала определим, что это будет означать. Кляксы соприкоснутся, если центр второй кляксы окажется в пределах 6 см от центра первой кляксы (радиус первой кляксы и радиус второй кляксы в сумме).

1. Определение области для расположения центров клякс:

   • Площадь листа бумаги: 20 см × 25 см = 500 см².
   • Расстояние, на котором центр второй кляксы должен находиться от центра первой, составляет 6 см.

2. Площадь, в которой может находиться центр второй кляксы:

   • Если первая клякса находится в центре листа, то ее центр будет на координатах (10 см, 12.5 см).
   • Тогда круг радиусом 6 см будет находиться вокруг точки (10 см, 12.5 см).

3. Определение границ круга:

   • Круг с радиусом 6 см будет иметь следующие границы:
     • По оси X: от 4 см до 16 см (10 см ± 6 см);
     • По оси Y: от 6.5 см до 18.5 см (12.5 см ± 6 см).

4. Площадь круга с радиусом 6 см:

   • Площадь круга составляет \(S_{\text{круга}} = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi \, \text{см}^2\).

5. Проверка пересечения с границами листа:

   • Поскольку круг частично выходит за пределы листа, необходимо найти ту часть площади, которая остается на листе.
   • Обратите внимание, что в этом случае центр первой кляксы может быть в прямоугольной области, определяемой размерами листа и радиусом клякс:
     • По оси X: от 3 см до 17 см (20 см - 3 см);
     • По оси Y: от 3 см до 22 см (25 см - 3 см).
   • Таким образом, возможное расположение центра первой кляксы занимает прямоугольник размером 14 см (17 см - 3 см) по X и 19 см (22 см - 3 см) по Y.

6. Площадь возможных центров:

   • Эта площадь равна: \( 14 \, \text{см} \times 19 \, \text{см} = 266 \, \text{см}^2 \).

7. Вероятность:

   • Вероятность того, что новая клякса с центром внутри области 6 см от первого центра будет находиться в пределах листа, равняется соотношению площади круга к площади, в которой центр первой кляксы может находиться.
   • Далее рассчитываем вероятность:
     \[ P = \frac{S_{\text{круга}}}{S_{\text{возможного}}} \approx \frac{36\pi}{500} \approx \frac{113.1}{500} \approx 0.2262. \]

Таким образом, вероятность того, что две кляксы слились в одну, составляет примерно 22.62%.