x²+y²=12 xy=-6
Давайте решим систему уравнений:
- \( x^2 + y^2 = 12 \)
- \( xy = -6 \)
Чтобы решить эту систему, мы можем воспользоваться заменой переменных. Первое уравнение можно записать так:
\[ y^2 = 12 - x^2 \]
Теперь подставим это выражение для \(y^2\) во второе уравнение. Поскольку \(y = \frac{-6}{x}\) (из второго уравнения), подставим это в первое уравнение:
\[ x^2 + \left(\frac{-6}{x}\right)^2 = 12 \]
Преобразуем второе слагаемое:
\[ x^2 + \frac{36}{x^2} = 12 \]
Теперь умножим все уравнение на \(x^2\) (при условии, что \(x \neq 0\)):
\[ x^4 - 12x^2 + 36 = 0 \]
Давайте введем замену \(z = x^2\), тогда уравнение становится:
\[ z^2 - 12z + 36 = 0 \]
Это квадратное уравнение можно решить с помощью формулы для корней квадратного уравнения:
\[ z = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1} \]
Посчитаем определитель:
\[ \sqrt{144 - 144} = \sqrt{0} = 0 \]
Таким образом, у нас есть один корень:
\[ z = \frac{12}{2} = 6 \]
Теперь возвращаемся к переменной \(x\):
\[ x^2 = 6 \implies x = \pm \sqrt{6} \]
Теперь найдём \(y\) с использованием второго уравнения \(xy = -6\):
Если \(x = \sqrt{6}\):
\[ y = \frac{-6}{\sqrt{6}} = -\sqrt{6} \]
Если \(x = -\sqrt{6}\):
\[ y = \frac{-6}{-\sqrt{6}} = \sqrt{6} \]
Итак, у нас получились два решения:
- \( (x, y) = (\sqrt{6}, -\sqrt{6}) \)
- \( (x, y) = (-\sqrt{6}, \sqrt{6}) \)
Эти пары \((x, y)\) удовлетворяют обоим исходным уравнениям. Если у вас есть дополнительные вопросы или если что-то осталось непонятным, я рад помочь!
