Задание 3. В прямоугольной системе координат построен квадрат с вершинами в точках (1;1), (1; -3), (-3; 1), (-3; -3), внутри него наугад выбирают точку. Найдите вероятность того, что точка окажется внутри прямоугольника с вершинами в точках (-1;-1), (-2; -1), (-2; -3), (-1;-3).
Чтобы решить задачу, сначала найдем площади квадрата и прямоугольника.
Найдем площадь квадрата. Вершины квадрата: (1; 1), (1; -3), (-3; 1), (-3; -3). Для нахождения длины стороны квадрата можно взять расстояние между двумя смежными вершинами. Например, между (1; 1) и (1; -3):
Длина стороны = |1 - (-3)| = |1 + 3| = 4.
Следовательно, площадь квадрата: \[ S_{квадрат} = (длина стороны)^2 = 4^2 = 16. \]
Найдем площадь прямоугольника. Вершины прямоугольника: (-1; -1), (-2; -1), (-2; -3), (-1; -3).
Для нахождения длины сторон:
- Длина по оси X = |-1 - (-2)| = |1| = 1.
- Длина по оси Y = |-1 - (-3)| = |2| = 2.
Следовательно, площадь прямоугольника: \[ S_{прямоугольник} = длина \times ширина = 1 \times 2 = 2. \]
Теперь найдем вероятность того, что случайно выбранная точка внутри квадрата окажется также и внутри прямоугольника.
Вероятность P того, что точка окажется внутри прямоугольника, равна отношению площади прямоугольника к площади квадрата: \[ P = \frac{S_{прямоугольник}}{S_{квадрат}} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}. \]
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка окажется внутри прямоугольника, равна \(\frac{1}{8}\).
