Задание 4. В прямоугольной системе координат построен треугольник с вершинами в точках (-2; 3), (-1; 4), (3; 4), внутри него наугад выбирают точку. Найдите вероятность того, что точка окажется внутри окружности в центром в точке (0;-3) и радиусом 0,5.
Чтобы решить задачу, давайте последовательно разберем все этапы.
Найдем площадь треугольника с вершинами в точках A(-2; 3), B(-1; 4), C(3; 4). Площадь треугольника можно вычислить по формуле:
\[ S = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| \]
Подставляя координаты точек:
\[ S = \frac{1}{2} |-2(4 - 4) + (-1)(4 - 3) + 3(3 - 4)| \] \[ = \frac{1}{2} |0 - 1 - 3| = \frac{1}{2} | -4 | = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 \]
Таким образом, площадь треугольника равна 2.
Теперь найдем область, в которой расположена окружность с центром в точке O(0; -3) и радиусом 0,5. Уравнение окружности имеет вид:
\[ (x - 0)^2 + (y + 3)^2 = (0.5)^2 \]
То есть:
\[ x^2 + (y + 3)^2 = 0.25 \]
Окружность будет находиться в диапазоне координат, которые удовлетворяют этому уравнению.
Теперь проверим, попадает ли окружность внутри треугольника. Следует найти, какие точки из окружности могут попадать в площадь треугольника. Для этого можем воспользоваться графической интерпретацией или подставить граничные условия окружности в уравнение прямой, которую составляют стороны треугольника.
В первую очередь, нам нужно проследить, какой квадрат, который охватывает всю окружность, находится внутри треугольника. Исходя из радиуса 0.5, координаты крайнего левого верхнего угла будут (-0.5, -3.5), а крайнего правого нижнего угла (0.5, -2.5).
Затем вычислим, какое из этих значений вообще возможно в пределах треугольника, проверив пересечения окружности с его сторонами. Это можно сделать, подставляя значения в уравнения линий или проверяя, находятся ли заданные точки (вершины окружности) внутри треугольника.
Наконец, мы можем вычислить вероятность, используя формулу:
\[ P = \frac{S_{окружности}}{S_{треугольника}} \]
Площадь круговой области равна:
\[ S_{окружности} = \pi r^2 = \pi (0.5)^2 = \frac{\pi}{4} \]
Таким образом, вероятность будет:
\[ P = \frac{\frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\pi}{8} \]
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка внутри треугольника окажется внутри окружности, равна \(\frac{\pi}{8}\).
