сколько общих точек имеют окружность и прямая x2+y2=7 y-4x=2
Чтобы найти количество общих точек между окружностью и прямой, сначала нужно определить уравнение окружности и уравнение прямой.
Уравнение окружности: Окружность задается уравнением \( x^2 + y^2 = 7 \). Это окружность с центром в точке \( (0, 0) \) и радиусом \( r = \sqrt{7} \).
Уравнение прямой: Уравнение прямой записано как \( y - 4x = 2 \). Это можно переписать в виде \( y = 4x + 2 \).
Теперь, чтобы найти точки пересечения между окружностью и прямой, подставим уравнение прямой в уравнение окружности:
\[ x^2 + (4x + 2)^2 = 7 \]
Раскроем скобки:
\[ x^2 + (16x^2 + 16x + 4) = 7 \]
Соберем все слагаемые:
\[ 17x^2 + 16x + 4 - 7 = 0 \]
Приведем уравнение к стандартному виду:
\[ 17x^2 + 16x - 3 = 0 \]
Теперь мы можем воспользоваться дискриминантом \( D \) для определения количества корней у этого квадратного уравнения:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \( a = 17 \), \( b = 16 \), \( c = -3 \):
\[ D = 16^2 - 4 \cdot 17 \cdot (-3) = 256 + 204 = 460 \]
Так как дискриминант положительный (\( D > 0 \)), это означает, что уравнение имеет два различных действительных корня.
Таким образом, окружность и прямая имеют две общие точки.
