Внутри круга с радиусом 10 см начертили квадрат. Известно, что диагональ квадрата равна радиусу окружности. Какова вероятность того, что выбранная наугад точка принадлежит…

Чтобы найти вероятность того, что случайно выбранная точка внутри круга принадлежит квадрату, сначала найдем площадь круга и площадь квадрата.

1. Площадь круга: Радиус круга \( R = 10 \) см. Формула площади круга: \[ S_{\text{круга}} = \pi R^2 \] Подставляем значение радиуса: \[ S_{\text{круга}} = \pi \cdot 10^2 = 100\pi \]

   Принимая \(\pi \approx 3\): \[ S_{\text{круга}} \approx 100 \cdot 3 = 300 \text{ см}^2 \]

2. Площадь квадрата: Диагональ квадрата равна радиусу окружности, то есть \( d = 10 \) см. Связь между стороной квадрата \( a \) и его диагональю (формула диагонали квадрата): \[ d = a\sqrt{2} \] Отсюда выражаем \( a \): \[ a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \text{ см} \]

   Площадь квадрата: \[ S_{\text{квадрата}} = a^2 = (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50 \text{ см}^2 \]

3. Вероятность: Вероятность того, что случайно выбранная точка внутри круга принадлежит квадрату, вычисляется как отношение площадей квадрата и круга: \[ P = \frac{S_{\text{квадрата}}}{S_{\text{круга}}} = \frac{50}{100\pi} = \frac{50}{300} = \frac{1}{6} \]

Таким образом, вероятность того, что выбранная наугад точка принадлежит квадрату, составляет \( \frac{1}{6} \).