Никита массой 70 70 кг прыгает с вышки высотой 3 3 м на батут жёсткостью 2500 2500 Н/м. На сколько сантиметров прогибается батут, когда Никита приземляется на него?
Для решения задачи, давайте использовать закон сохранения энергии и формулу для расчета прогиба стержня или упругого тела.
Когда Никита прыгает с вышки, потенциальная энергия, которую он имеет на высоте, преобразуется в упругую энергию, когда он приземляется на батут.
- Вычислим потенциальную энергию (Ep) Никиты на высоте 3 м:
\[ E_p = m \cdot g \cdot h \]
где:
- \( m = 70 \, \text{кг} \) (масса Никиты),
- \( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 \) (ускорение свободного падения),
- \( h = 3 \, \text{м} \) (высота вышки).
Подставим значения:
\[ E_p = 70 \cdot 9.81 \cdot 3 \approx 2053.1 \, \text{Дж} \]
- Теперь, когда Никита приземляется на батут, эта энергия преобразуется в упругую энергию (Eu) батутa:
\[ E_u = \frac{1}{2} k x^2 \]
где:
- \( k = 2500 \, \text{Н/м} \) (жесткость батутa),
- \( x \) — прогиб, который нам нужно найти.
Сравнивая потенциальную и упругую энергию, можно записать:
\[ E_p = E_u \]
То есть:
\[ 2053.1 = \frac{1}{2} \cdot 2500 \cdot x^2 \]
- Решим уравнение для x:
\[ 2053.1 = 1250 \cdot x^2 \]
разделим обе стороны на 1250:
\[ x^2 = \frac{2053.1}{1250} \approx 1.64248 \]
Теперь извлечем квадратный корень:
\[ x \approx \sqrt{1.64248} \approx 1.281 \, \text{м} \]
- Переведем в сантиметры:
\[ x \approx 1.281 \cdot 100 \approx 128.1 \, \text{см} \]
Таким образом, батут прогнется примерно на 128.1 см, когда Никита приземлится на него.
