3sin^2x-7sinx+4=0
Чтобы решить уравнение \(3\sin^2 x - 7\sin x + 4 = 0\), давайте начнем с введения новой переменной. Пусть \(y = \sin x\). Тогда уравнение принимает вид:
\[3y^2 - 7y + 4 = 0.\]
Теперь мы можем решить квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле:
\[D = b^2 - 4ac,\]
где \(a = 3\), \(b = -7\) и \(c = 4\). Подставим значения:
\[D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1.\]
Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня. Теперь найдем корни с помощью формулы:
\[y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]
Подставляем значения:
\[y_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 1}{6}.\]
Теперь вычислим два корня:
- \(y_1 = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\),
- \(y_2 = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1\).
Теперь вернемся к переменной \(y = \sin x\).
Для \(y_1 = \frac{4}{3}\): значение \(\sin x\) не может превышать 1, поэтому этот корень отклоняется.
Для \(y_2 = 1\): получаем \(\sin x = 1\).
Это возможно, когда:
\[x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.\]
Таким образом, окончательное решение уравнения \(3\sin^2 x - 7\sin x + 4 = 0\) состоит в том, что:
\[x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.\]
Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется объяснение по детальным шагам, не стесняйтесь спрашивать!
