z= x^2 - y/x^2+y, где y=3x+1. Найти: dz/dx
Чтобы найти производную \( \frac{dz}{dx} \) функции \( z = \frac{x^2 - y}{x^2 + y} \), где \( y = 3x + 1 \), мы будем использовать правило дифференцирования частного.
Для начала заменим \( y \) на \( 3x + 1 \) в выражении для \( z \):
\[ z = \frac{x^2 - (3x + 1)}{x^2 + (3x + 1)} = \frac{x^2 - 3x - 1}{x^2 + 3x + 1} \]
Теперь мы можем использовать правило дифференцирования частного:
\[ \frac{dz}{dx} = \frac{(u'v - uv')}{v^2} \]
где \( u = x^2 - 3x - 1 \), \( v = x^2 + 3x + 1 \), \( u' \) и \( v' \) — это производные \( u \) и \( v \) соответственно.
Сначала найдем \( u' \) и \( v' \):
\[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 3x - 1) = 2x - 3 \]
\[ v' = \frac{d}{dx}(x^2 + 3x + 1) = 2x + 3 \]
Теперь подставим все в формулу для производной:
\[ \frac{dz}{dx} = \frac{(2x - 3)(x^2 + 3x + 1) - (x^2 - 3x - 1)(2x + 3)}{(x^2 + 3x + 1)^2} \]
Теперь упростим числитель:
Рассчитаем первый множитель: \((2x - 3)(x^2 + 3x + 1)\) \[ = 2x^3 + 6x^2 + 2x - 3x^2 - 9x - 3 = 2x^3 + 3x^2 - 7x - 3 \]
Рассчитаем второй множитель: \((x^2 - 3x - 1)(2x + 3)\) \[ = 2x^3 + 3x^2 - 6x - 3 \]
Таким образом, числитель станет: \[ (2x^3 + 3x^2 - 7x - 3) - (2x^3 + 3x^2 - 6x - 3) = -x \]
Теперь можем записать полное выражение для производной \( \frac{dz}{dx} \):
\[ \frac{dz}{dx} = \frac{-x}{(x^2 + 3x + 1)^2} \]
Это и есть производная \( \frac{dz}{dx} \). Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше помощи, не стесняйтесь задавать их!
