покажите что функция F(x)=2l2x+2x3+sin x +1 на всей числовой прямой является первообразной для функции f(x)=4l2x+ 6x2+cos x

Чтобы показать, что функция \( F(x) = 2e^{2x} + 2x^3 + \sin x + 1 \) является первообразной для функции \( f(x) = 4e^{2x} + 6x^2 + \cos x \), нам нужно вычислить производную \( F'(x) \) и проверить, равна ли она \( f(x) \).

1. Находим производную \( F(x) \):

   • Первая часть: \( 2e^{2x} \) — производная будет \( 2 \cdot 2e^{2x} = 4e^{2x} \).
   • Вторая часть: \( 2x^3 \) — производная будет \( 6x^2 \).
   • Третья часть: \( \sin x \) — производная будет \( \cos x \).
   • Четвертая часть: \( 1 \) — производная будет \( 0 \).

2. Складываем производные: \[ F'(x) = 4e^{2x} + 6x^2 + \cos x. \]

Таким образом, мы видим, что: \[ F'(x) = f(x), \] что и показывает, что функция \( F(x) \) является первообразной для функции \( f(x) \) на всей числовой прямой.

Это подтверждает, что ваше утверждение верно, и функция \( F(x) \) действительно является первообразной для \( f(x) \). Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими концепциями, не стесняйтесь спрашивать!