В прямоугольнике с вершинами A ( − 4 ; − 4 ) A(−4;−4) , B ( − 4 ; 6 ) B(−4;6) , C ( 8 ; 6 ) C(8;6) , D ( 8 ; − 4 ) D(8;−4) выбрали случайную точку X ( x ; y ) X(x;y) . Найди…

Чтобы найти вероятность того, что случайная точка \( X(x; y) \) в прямоугольнике \( ABCD \) принадлежит области, заданной неравенствами \( y \geq x \) и \( y \geq 1 \), нужно выполнить несколько этапов.

1. Определим размеры прямоугольника.
   Вершины прямоугольника:

   • \( A(-4, -4) \)
   • \( B(-4, 6) \)
   • \( C(8, 6) \)
   • \( D(8, -4) \)

   Длина и ширина прямоугольника:

   • Ширина: от \( y = -4 \) до \( y = 6 \), то есть \( 6 - (-4) = 10 \).
   • Длина: от \( x = -4 \) до \( x = 8 \), то есть \( 8 - (-4) = 12 \).

   Площадь прямоугольника: \[ Площадь_{прямоугольника} = 10 \times 12 = 120. \]

2. Определим область, заданную условиями неравенств.
   На графике:

   • Линия \( y = x \) – это прямая, проходящая через начало координат и поднимающаяся вверх в правом верхнем углу.
   • Линия \( y = 1 \) – это горизонтальная прямая.

   Нам нужно найти пересечение этих двух областей с прямоугольником.

3. Найдем точки пересечения.

   • Первая прямая \( y = x \) пересекает прямую \( y = 1 \) в точке \( (1, 1) \).
   • Далее рассмотрим, как выглядит вообще эта область на прямоугольнике.

   Область ниже линии \( y = x \) находится ниже и справа от этой линии, а область выше линии \( y = 1 \) от этой линии.

4. Определим вершины области. Поскольку границы прямоугольника находятся в пределах от \( (-4; -4) \) до \( (8; 6) \), точки, которые ограничивают нужную область:

   • Поднимаемся от (1, 1) вверх до (8, 6).
   • Снизу – от (1, 1) мы идем до (-4, 1) на уровне y=1.

5. Находим площадь пересечения. Площадь, ограниченная этими линиями:

   • Для того чтобы найти ее, мы можем воспользоваться треугольниками и прямоугольником. Обозначим, что нужная площадь является часть прямоугольника около точки (1, 1) до (8, 6).

6. Геометрически вычисливаем площадь. Площадь треугольника с вершинами ( 1, 1), 8, 1), (8, 6) можно найти по формуле: \[ Площадь = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота = \frac{1}{2} \cdot (8 - 1) \cdot (6 - 1) = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 = 17.5. \]

7. Вероятность. Вероятность того, что случайная точка попадёт в эту область: \[ Вероятность = \frac{Площадь_области}{Площадь_{прямоуголника}} = \frac{17.5}{120}. \]

Теперь округлим результат до тысячных: \[ \frac{17.5}{120} \approx 0.145833... \] Округляем до тысячных: \[ Ответ: 0.146. \]

Таким образом, вероятность того, что координаты случайной точки принадлежит заданной области, равна 0.146.