Докажите, что числа AB и -AB имеют одинаковый остаток при делении на 11

Для доказательства того, что числа \( AB \) и \( -AB \) имеют одинаковый остаток при делении на 11, воспользуемся следующими свойствами деления.

1. Пусть \( n = AB \). Тогда мы хотим показать, что \( n \equiv -n \pmod{11} \).

2. Если мы делим число \( n \) на 11, то \( n \) может быть представлено как \( n = 11k + r \), где \( k \) - целое число, а \( r \) - остаток от деления, то есть \( 0 \leq r < 11 \).

3. Теперь рассмотрим число \( -n \): \[ -n = - (11k + r) = -11k - r \]

4. В этом выражении \( -11k \) также делится на 11, так как это произведение 11 и некоторого целого числа. Нам важно рассмотреть остаток \( -r \).

5. Остаток \( -r \) при делении на 11 будет равен \( 11 - r \) (если \( r > 0 \)), или 0 (если \( r = 0 \)). В любом случае, мы можем записать, что: \[ -r \equiv 11 - r \pmod{11} \]

6. Следовательно, \( -n \equiv -r \pmod{11} \). Итак, имеем два случая:

   • Если \( r = 0 \), тогда \( n \equiv 0 \pmod{11} \) и \( -n \equiv 0 \pmod{11} \).
   • Если \( 0 < r < 11 \), то остаток \( -n \equiv 11 - r \), и поскольку \( r \) и \( 11 - r \) (взятие в противофазе) также остаются в пределах от 0 до 10, \( r \) и \( -r \) имеют одинаковый остаток при делении на 11, либо же совпадают.

Таким образом, обе цифры \( n \equiv AB \) и \( -n \equiv -AB \) имеют одинаковый остаток при делении на 11.

Это и завершает доказательство!