В предложении "Удалось ли ему передать в ней очарование этих просторов, вёсен, зим, полей, лесов?" грамматическая основа состоит из подлежащего и сказуемого.
Подлежащее: "ему" (хотя в данном случае оно выражено в косвенном падеже, в основном подлежащим выступает безличная форма) Сказуемое: "удалось" (глагол, который указывает на действие).
Таким образом, грамматическая основа предложения: "удалось".