для функции f(x)=6(x+1)5+3(2x-1)2-4x-cos3x найдите первообразную, график которой проходит через точку М(0;-1)

Чтобы найти первообразную функции \( f(x) = 6(x+1)^5 + 3(2x-1)^2 - 4x - \cos(3x) \), мы сначала найдем неопределенный интеграл этой функции. Затем, используя информацию о точке \( M(0; -1) \), мы определим постоянную интегрирования.

1. Находим интеграл каждого слагаемого:

   • \( \int 6(x+1)^5 \, dx = 6 \cdot \frac{(x+1)^6}{6} = (x+1)^6 \)
   • \( \int 3(2x-1)^2 \, dx = 3 \cdot \frac{(2x-1)^3}{6} = \frac{(2x-1)^3}{2} \)
   • \( \int -4x \, dx = -2x^2 \)
   • \( \int -\cos(3x) \, dx = -\frac{1}{3} \sin(3x) \)

2. Теперь объединим все вместе: \[ F(x) = (x+1)^6 + \frac{(2x-1)^3}{2} - 2x^2 - \frac{1}{3} \sin(3x) + C \] где \( C \) — произвольная константа.

3. Используем условие точки М(0; -1): Подставляем \( x = 0 \) и \( F(0) = -1 \): \[ F(0) = (0+1)^6 + \frac{(2 \cdot 0 - 1)^3}{2} - 2 \cdot 0^2 - \frac{1}{3} \sin(0) + C = 1 - \frac{(-1)^3}{2} + C = 1 + \frac{1}{2} + C = 1.5 + C \] Условие: \( 1.5 + C = -1 \). Решаем для \( C \): \[ C = -1 - 1.5 = -2.5 \]

4. Итак, окончательная первообразная будет: \[ F(x) = (x+1)^6 + \frac{(2x-1)^3}{2} - 2x^2 - \frac{1}{3} \sin(3x) - 2.5 \]

Это и есть искомая первообразная функции \( f(x) \), которая проходит через заданную точку \( M(0; -1) \). Если у вас есть еще вопросы или вам нужно больше объяснений, не стесняйтесь спрашивать!