. Не решая уравнения, определите знаки его корней: 1) x ^ 2 + 7x - 1 = 0 2) x ^ 2 - 7x + 1 = 0 3) 5x ^ 2 + 17x + 16 = 0 4) x ^ 2 - 18x + 17 = 0 5) x ^ 2 - 2x - 1 = 0 6) x ^ 2 - 15x + 56 = 0 7) 19x ^ 2 - 23x + 5 = 0 8) 2x ^ 2 + 5x + 6 = 0 9) 11x ^ 2 - 9x + 0, 2 = 0 10) 5x ^ 2 - x - 108 = 0 11) x ^ 2 - 2, 7x + 1 = 0 12 3x ^ 2 - 12x - 7 = 0

Конечно! Давайте определим знаки корней данных уравнений, не решая их, а используя свойства парабол и дискриминант.

Общая информация: Для квадратного уравнения вида \( ax^2 + bx + c = 0 \):

• Если \( a > 0 \):

  • Если \( D > 0 \) (дискриминант), то 2 корня: один отрицательный, другой положительный, если \( b < 0 \); оба корня положительные, если \( b > 0 \).
  • Если \( D = 0 \), то один корень: положительный, если \( b < 0 \) и отрицательный, если \( b > 0 \).
  • Если \( D < 0 \), то нет действительных корней, оба корня мнимые.

• Если \( a < 0 \):

  • Если \( D > 0 \), то 2 корня: один положительный, другой отрицательный, если \( b < 0 \); оба корня отрицательные, если \( b > 0 \).
  • Если \( D = 0 \), то один корень: отрицательный, если \( b < 0 \) и положительный, если \( b > 0 \).
  • Если \( D < 0 \), то нет действительных корней, оба корня мнимые.

Теперь давайте проанализируем каждое из уравнений:

1. \( x^2 + 7x - 1 = 0 \)

   • \( a = 1 > 0 \), \( b = 7 > 0 \), \( D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 49 + 4 = 53 > 0 \)
   • Корни: один отрицательный, один положительный.

2. \( x^2 - 7x + 1 = 0 \)

   • \( a = 1 > 0 \), \( b = -7 < 0 \), \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 49 - 4 = 45 > 0 \)
   • Корни: оба корня положительные.

3. \( 5x^2 + 17x + 16 = 0 \)

   • \( a = 5 > 0 \), \( b = 17 > 0 \), \( D = 17^2 - 4 \cdot 5 \cdot 16 = 289 - 320 = -31 < 0 \)
   • Корней нет (оба мнимые).

4. \( x^2 - 18x + 17 = 0 \)

   • \( a = 1 > 0 \), \( b = -18 < 0 \), \( D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 17 = 324 - 68 = 256 > 0 \)
   • Корни: оба корня положительные.

5. \( x^2 - 2x - 1 = 0 \)

   • \( a = 1 > 0 \), \( b = -2 < 0 \), \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8 > 0 \)
   • Корни: один положительный, другой отрицательный.

6. \( x^2 - 15x + 56 = 0 \)

   • \( a = 1 > 0 \), \( b = -15 < 0 \), \( D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1 > 0 \)
   • Корни: оба корня положительные.

7. \( 19x^2 - 23x + 5 = 0 \)

   • \( a = 19 > 0 \), \( b = -23 < 0 \), \( D = (-23)^2 - 4 \cdot 19 \cdot 5 = 529 - 380 = 149 > 0 \)
   • Корни: оба корня положительные.

8. \( 2x^2 + 5x + 6 = 0 \)

   • \( a = 2 > 0 \), \( b = 5 > 0 \), \( D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 25 - 48 = -23 < 0 \)
   • Корней нет (оба мнимые).

9. \( 11x^2 - 9x + 0.2 = 0 \)

   • \( a = 11 > 0 \), \( b = -9 < 0 \), \( D = (-9)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 0.2 = 81 - 8.8 = 72.2 > 0 \)
   • Корни: оба корня положительные.

10. \( 5x^2 - x - 108 = 0 \)

    • \( a = 5 > 0 \), \( b = -1 < 0 \), \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-108) = 1 + 2160 = 2161 > 0 \)
    • Корни: один положительный, другой отрицательный.

11. \( x^2 - 2.7x + 1 = 0 \)

    • \( a = 1 > 0 \), \( b = -2.7 < 0 \), \( D = (-2.7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 7.29 - 4 = 3.29 > 0 \)
    • Корни: оба корня положительные.

12. \( 3x^2 - 12x - 7 = 0 \)

    • \( a = 3 > 0 \), \( b = -12 < 0 \), \( D = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 144 + 84 = 228 > 0 \)
    • Корни: один положительный, другой отрицательный.

Надеюсь, что данное объяснение поможет вам лучше понять, как определяются знаки корней квадратных уравнений! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.