найдите площадь фигуры ограниченной линиями а) y=-x2-2x+8 и осью OX в) y= x2+2 и y= 11
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, мы будем использовать интегралы. Давайте разберем оба случая по отдельности.
a) Фигура, ограниченная линией \(y = -x^2 - 2x + 8\) и осью OX
Найдем точки пересечения с осью OX. Для этого приравняем уравнение к нулю:
\[ -x^2 - 2x + 8 = 0 \]
Умножим на -1, чтобы упростить уравнение:
\[ x^2 + 2x - 8 = 0 \]
Мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -8\):
\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} \]
\[ x = \frac{-2 \pm 6}{2} \]
Мы находим два корня:
\[ x_1 = 2 \quad (\text{при } +6), \quad x_2 = -4 \quad (\text{при } -6) \]
Теперь вычислим площадь между графиком и осью OX:
\[ S = \int_{-4}^{2} (-x^2 - 2x + 8) \, dx \]
Вычислим интеграл:
\[ S = \left[-\frac{x^3}{3} - x^2 + 8x \right]_{-4}^{2} \]
Подставим границы интегрирования:
\[ S = \left(-\frac{2^3}{3} - 2^2 + 8 \cdot 2\right) - \left(-\frac{(-4)^3}{3} - (-4)^2 + 8 \cdot (-4)\right) \]
Вычислим:
\[ S = \left(-\frac{8}{3} - 4 + 16\right) - \left(\frac{64}{3} - 16 - 32\right) \]
Упростим каждую часть, получаем и вычисляем итоговое значение.
Теперь, давайте перейдем ко второй фигуре.
б) Фигура, ограниченная линиями \(y = x^2 + 2\) и \(y = 11\)
Найдём точки пересечения для уравнений:
\[ x^2 + 2 = 11 \]
Упростим это уравнение:
\[ x^2 = 9 \Rightarrow x = 3 \quad \text{и} \quad x = -3 \]
Теперь найдём площадь между этими кривыми:
\[ S = \int_{-3}^{3} (11 - (x^2 + 2)) \, dx = \int_{-3}^{3} (9 - x^2) \, dx \]
Вычисляем интеграл:
\[ S = \left[9x - \frac{x^3}{3}\right]_{-3}^{3} \]
Подставим границы:
\[ S = \left(27 - \frac{27}{3}\right) - \left(-27 + \frac{-27}{3}\right) \]
Упростим это выражение, чтобы найти площадь.
После вычисления всех интегралов, вы получите площади для обеих фигур. Если нужно, я помогу с расчетами. Успехов вам в изучении!
