Точка P удалена от начала координат на 15 ед. длины, угловой коэффициент прямой, проходящей через начало координат и через точку P равен 4/3 Найдите точку P
Для решения задачи нам нужно найти координаты точки P, которая находится на расстоянии 15 единиц от начала координат (точки O с координатами (0, 0)) и имеет угловой коэффициент прямой, проходящей через O и P, равный \( \frac{4}{3} \).
Запишем уравнение прямой: Угловой коэффициент \( k = \frac{4}{3} \) можно записать как уравнение прямой, проходящей через начало координат: \[ y = \frac{4}{3}x \]
Найдем расстояние: Расстояние от точки O (0, 0) до точки P (x, y) можно выразить через формулу расстояния между двумя точками: \[ d = \sqrt{x^2 + y^2} \] В нашем случае \( d = 15 \): \[ \sqrt{x^2 + y^2} = 15 \]
Подставим выражение для y: Нам нужно выразить y через x в нашей формуле. Так как \( y = \frac{4}{3}x \), подставим это значение в уравнение расстояния: \[ \sqrt{x^2 + \left(\frac{4}{3}x\right)^2} = 15 \] \[ \sqrt{x^2 + \frac{16}{9}x^2} = 15 \] \[ \sqrt{\frac{25}{9}x^2} = 15 \] \[ \frac{5}{3}|x| = 15 \]
Решим уравнение: Умножим обе стороны на \( \frac{3}{5} \): \[ |x| = 9 \] Отсюда получаем два возможных значения для x: \[ x = 9 \quad \text{или} \quad x = -9 \]
Найдем соответствующие y: Подставим найденные значения x в уравнение прямой, чтобы найти соответствующее значения y:
Если \( x = 9 \): \[ y = \frac{4}{3} \cdot 9 = 12 \] Таким образом, точка P1 имеет координаты (9, 12).
Если \( x = -9 \): \[ y = \frac{4}{3} \cdot (-9) = -12 \] Таким образом, точка P2 имеет координаты (-9, -12).
Таким образом, возможные точки P, удовлетворяющие условиям задачи, это:
- \( P_1(9, 12) \)
- \( P_2(-9, -12) \)
