1/(x-3) ²-7/x-3-18=0

Чтобы решить уравнение \( \frac{1}{(x-3)^2} - \frac{7}{x-3} - 18 = 0 \), начнем с упрощения. Для удобства, сделаем замену: введем \( y = x - 3 \). Тогда уравнение преобразуется в:

\[ \frac{1}{y^2} - \frac{7}{y} - 18 = 0 \]

Умножим всё уравнение на \( y^2 \) (предполагая, что \( y \neq 0 \)) для устранения дробей:

\[ 1 - 7y - 18y^2 = 0 \]

Теперь переставим уравнение в стандартную форму:

\[ -18y^2 - 7y + 1 = 0 \]

Умножим на -1, чтобы упростить работу с коэффициентами:

\[ 18y^2 + 7y - 1 = 0 \]

Теперь можем использовать формулу для решения квадратных уравнений \( y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 18 \), \( b = 7 \), и \( c = -1 \).

Посчитаем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-1) = 49 + 72 = 121 \]

Так как дискриминант \( D \) положителен, у нашего уравнения есть два действительных корня. Подставляем значения в формулу:

\[ y = \frac{-7 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 18} = \frac{-7 \pm 11}{36} \]

Теперь найдем оба корня:

1. При \( y = \frac{-7 + 11}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \)
2. При \( y = \frac{-7 - 11}{36} = \frac{-18}{36} = -\frac{1}{2} \)

Теперь вернемся к переменной \( x \), используя \( y = x - 3 \):

1. Для первого корня:

\[ x - 3 = \frac{1}{9} \implies x = 3 + \frac{1}{9} = \frac{27}{9} + \frac{1}{9} = \frac{28}{9} \]

2. Для второго корня:

\[ x - 3 = -\frac{1}{2} \implies x = 3 - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \]

Таким образом, у нас есть два решения:

\[ x = \frac{28}{9} \quad \text{и} \quad x = \frac{5}{2} \]

Это завершают решение уравнения. Если у вас остались вопросы или нужны дополнительные объяснения, не стесняйтесь спрашивать!