1. Напишите координаты и длину вектора c= 3/4 m + n 2. Напишите уравнение окружности с центром в точке А(-3;2), проходящей через точку В(4;-5). 3. Напишите уравнение прямой…
1. Напишите координаты и длину вектора c= 3/4 m + n 2. Напишите уравнение окружности с центром в точке А(-3;2), проходящей через точку В(4;-5). 3. Напишите уравнение прямой проходящей через точки А(-3;-3) и В (3; 5) 4. Треугольник FEC задан координатами своих вершин: F(-1;1), E(4;1), C(1;- 3). а) Докажите, что треугольник FEC - равнобедренный. 6) Найдите медиану, проведенную из вершины Е.
- Чтобы найти координаты и длину вектора \( \mathbf{c} = \frac{3}{4} \mathbf{m} + \mathbf{n} \), предположим, что векторы \( \mathbf{m} \) и \( \mathbf{n} \) заданы следующим образом: \( \mathbf{m}(x_1, y_1) \) и \( \mathbf{n}(x_2, y_2) \). В этом случае, координаты вектора \( \mathbf{c} \) будут равны:
\[ \mathbf{c} = \left( \frac{3}{4}x_1 + x_2, \frac{3}{4}y_1 + y_2 \right). \]
Длину вектора \( \mathbf{c} \) можно найти по формуле:
\[ |\mathbf{c}| = \sqrt{\left( \frac{3}{4}x_1 + x_2 \right)^2 + \left( \frac{3}{4}y_1 + y_2 \right)^2}. \]
Если \( \mathbf{m} \) и \( \mathbf{n} \) заданы, подставьте их значения для получения конкретного ответа.
- Уравнение окружности с центром в точке \( A(-3, 2) \), проходящей через точку \( B(4, -5) \), можно записать в стандартной форме \( (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \), где \( (x_0, y_0) \) – координаты центра, а \( r \) – радиус. Сначала найдем радиус:
\[ r = \sqrt{(4 - (-3))^2 + (-5 - 2)^2} = \sqrt{(4 + 3)^2 + (-5 - 2)^2} = \sqrt{7^2 + (-7)^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}. \]
Тогда, уравнение окружности будет:
\[ (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 98. \]
- Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точки \( A(-3, -3) \) и \( B(3, 5) \), сначала вычислим наклон (угловой коэффициент) прямой:
\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - (-3)}{3 - (-3)} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}. \]
Теперь используем один из известных способов (например, уравнение точки с угловым коэффициентом):
\[ y - y_1 = k(x - x_1), \]
где \((x_1, y_1) = (-3, -3)\):
\[ y + 3 = \frac{4}{3}(x + 3). \]
Упростим уравнение:
\[ y + 3 = \frac{4}{3}x + 4 \implies y = \frac{4}{3}x + 1. \]
- Для проверки, является ли треугольник \( FEC \) равнобедренным, необходимо сначала узнать длины его сторон. Стороны \( FE \), \( EC \) и \( CF \) можно вычислить с помощью формулы расстояния между двумя точками:
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. \]
Подсчитаем:
- \( FE = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{5^2} = 5 \)
- \( EC = \sqrt{(1 - 4)^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \)
- \( CF = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \)
Так как \( FE = EC \), то треугольник \( FEC \) является равнобедренным.
- Чтобы найти медиану, проведенную из вершины \( E(4, 1) \), используем координаты середины отрезка \( FC \). Сначала найдем координаты середины:
\[ M \left( \frac{x_F + x_C}{2}, \frac{y_F + y_C}{2} \right) = M \left( \frac{-1 + 1}{2}, \frac{1 + (-3)}{2} \right) = M(0, -1). \]
Теперь найдём уравнение медианы \( EM \), где \( E(4, 1) \) и \( M(0, -1) \):
- Найдем угловой коэффициент:
\[ k_{EM} = \frac{-1 - 1}{0 - 4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}. \]
- Используем точку \( E(4, 1) \):
\[ y - 1 = \frac{1}{2}(x - 4). \]
Упростим это уравнение:
\[ y - 1 = \frac{1}{2}x - 2 \implies y = \frac{1}{2}x - 1. \]
Таким образом, уравнение медианы из вершины \( E \) в треугольнике \( FEC \) будет:
\[ y = \frac{1}{2}x - 1. \]
